概率论与数理统计知识点总结.docx

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1、第1章随机事件及其概率(1)随机试验和随机如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果 不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果很IJ称 这种试验为随机试验。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；一个事件就是由 中的部分点(基本事件)组成的集合.通常用大 A, B, C,表示事件，它们是 的子集。为必然事件，0为不可能事件.不可能事件W)的概率为零,而概率为零的事件不一定是小可能事 件；同理，必然事件(C)的概率为1,而概率为1的事件也不一 定是必然事件.(3)事件的关如果

2、事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B 理：ABBAABAB，则称事件与事件等价,或称等于： M- DOAx B中至少有-个发生的事件：A BA B或者 + 属于A而不属于 的部分所构成的事件，称为A与QAQ dZt B的差,记为A.B，A-AB一AB或者、它表示发生而不发生的事件.A、BABAB.AB=,则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的.A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为它表示 A不发生的事件。互斥未必对立.结合率：A (BC)= (AB) C AU (BUC) = (AUB) UC分配率：(AB) UC=(AUC

3、) (BUC) (AUB) C= (AC)U(BC)缶摩根率：I1设 为样本空间，a为事件，对每一个事件八都有一个实数P (A) fAA12U 1 1A 1A112n7。1/ P( ) PP-I( 2) . ( n) nA，组成的,则有12mP(A) =()u( )uU()=h( ) p()() 12m12n mn若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随机试验为几何概型.对任一事件A,加法公式P (A+B) =P (A) +P (B)-P(AB)当 AB 不相容 P (AB) =O 时，P (A+B) =

4、P(A) +P (B)当 AB 独立,P(AB) =P (A)P (B)r P (A+B) = P(A) + P (B)-P(A) P (B)当 BA 时，P (A-B) = P (A)-P (B)定义设A、B是两个事件，且P (A) 0,则称匚吵为事件A发生E AB条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。B更一般地，对事件AJ A .A P (AAA 1)0,则有 INnn-1A) P(A1) P(A2 A1) P(A3IA1A2)n l 2P2 3 ,则称事件D是相互独立的。A B若事件A、B相互独立，且P(A) O，则有P(A)P(A)若事件、相互独立，则可得到正与、与屋K

5、与B也都相互P(AB) =P(A) P (B) ； P (BC) = P (B)P (C) ； P(CA) =P (C)P(A)121 2 nP(B) 0(i 1,2,.,n) ,A U B11P(A) P(B1)P(A B1) P(B)P(AlB2)P(Bn)P(AIB)全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题，全概率公式的题型：将试验0看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率,就用全概 率公式；12n1I 22 U 则injJJ 1ni j 9n)通常称为后验概率.贝叶斯公式反映了 “因果的概率规律，并 作出了 “由果朔因”的推断。将试验可看成分为两步做,如果求在第 二步某事件发生条件下

6、第一步某事件的概率，就用贝叶斯公式。nAAnA每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发nPAKPr(k)表nk (0 k n)P.(k) CkPQ ，nkQLZ ,第二章随机变量及其分布(1)离散 型随 机变 量的 分布 律设离散型随机变量X的可能取值为Xk (k=l, 2,.)且取各个值的概率，即事件(X=XJ的概率为P (X=xJ =pk, k=l, 2,，KKK则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律.有时也用分P(XXk) pf, pk, (1) Pk 0,1,2 ，(2) Pk 1O kk 1设 是随机变量X的分布函数，若存在非负函数,对任意实数则称X为连续型随机变

7、量。f称为X的概率密度函数或密度函数,O Io f X dxf(x)dx 12214、P(x=a) =0, a为常数，连续型随机变量取个别值的概率为0XXP (a X b) F(b) F (a)可以得到X落入区间(a b的概率。分布函O F(x) LX；是单调不减的函数，即X 时，有 1212FFXXF(x O) F(x)F(x)P(X x) F(x) F(x 0)F(X)；Pk xk XF (x) f (x) dx 分布二项分在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生XXP(x k) P (k) CkPkqq 1 r0 P Lk 0,U,n nn则称随机变量X服从参数为n, P的

8、二项分布。记为X B(n, p)n 1Qi,这就是(OT)分布,所k以(O-I)分布是二项分布的特例。泊松分设随机变量X的分布律为P(X k) eO k Q 1,2k!XX或者、()设随机变量X的值只落在a, b内，其密度函数 在a, axb则称随机变量X在a, b上服从均匀分布,记为XU (a,O,xbo当a% x,b时，X落在区间()内的概率为 121212 - ,其中 0,则称随机变量X服从参数为 的指数分布。X1XJt_iirx的0X正态分布或高斯(GalISS)分布，记为XxfTL 2 X21 e i2dt0时的正态分布称为标准正态分布,记为11 JTF1 X 工是不可求积函数，其函

9、数值，已编制成表可供查用. (-x) = 1 (x)且 (0)= oX2 N (Q1)P(x X X )3 -1 12(7)函离散型XXVYV. . XF 2,，xn,数的分布P(X X) Y g(X)的若有某L嘉l(y g(x)互不相等)如下： ii12n9P )相等,则应将对应的P相加作为的概率。1121 ;i先利用X的概率密度f(x)写出Y的分布函数Fy (y) = P(g(X) y),再利用变上下限积分的求导公式求出f仞。第三章二维随机变量及其分布(1)联离散型如果二维随机向量(X,)的所有可能取值为至多可列,且事1,称P(X, Y) (, y ) P j L2 ) i J为=(X,

10、Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律.联Pij(, Y),如果存在非负函数 ,使对任意一个其邻边分别平 行于坐标轴的矩形区域D,即D= (X, Y) ax 0 ；(2)f (x, y)dxdy L2联合设(X, Y)为二维随机变量，对于任意实数X, y,二元函数Fay) PX XY y称为二维随机向量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联 合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件( , ) X( ) X, Y( ) y的概率为函数值的一个实值函数. 1212分布函数F (x, y)具有以下的基本性质：当 X2X1时，有 F (2, y) F(x, y)；当 丫2无 时，有

11、F (x,21F( , ) F( ,y) F(x, ) QF( , ) L1211212F，y)F(x,y)F(，y)F(x,y)。22211211iiJ(,.U)JP 1 Ji Uf(X) Xf (y) YX二X I/l、PP(Y y I X ) ； j i p, Y=WP(X X IY y) 4, ijPf ( I y)Yf(y) 4T f(X)XXY离散型连续型f (x, y) =f(X)f (y) T正概率密度区间为矩形1 24 2f U y) e 22212，I 2随机变若XJ X . .X , X . .X相互独立，h, g为连 INmm+1nh (X fX, .X )和 g (X

12、 J X )相互独立。特例：若X与Y独立,则:h (X)和g (Y)独立。例如：若X与Y独立，贝IJ ： 3X+1和5Y2独立。1 sD其中SD为区域D的面枳,则称(X, Y)服从D上的均匀分布，记为 (X, Y) -U (D).图3.21 -I- *- 2 2 & M Jf U y） ,e 20 2）11 222 Jl 2120,是5个参数,则称（X, Y）服从二维正态分1 2 12 o, I 1， ，）. 12,由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍,2），YN（）.112,2 Y N,（X，Y）未必是二维正态分布.1 1 ）ZZ, ）。 12n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。22i ii iii12X ) n相 互独立，其分布函数分别为 12F (x) F X F X,X2,Xn)的分X nF (x) F (x)F (x)F (x)maxXnF (x) 1 1 F (x) 1 F (x)l F (x) minXi2Xn第四章随机变量的数字特征设X是离散型随机X X kkE(X) n X p k k k 1设X是连续型随机变量，其概率密E(X) xf, (x)dxnk kk 1E2Jk kD (X) x