概率论与数理统计知识点总结 (1).docx

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1、第1章随机事件及其概率(1)排列组合公式从个人中挑出n个人进行排列的可能数。Cn - 从In个人中挑出n个人进行组合的可能数。 m加法和乘法原理某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种 方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mXn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个 步骤可由n种方法来完成，则这件事可由mXn种方法来完成。(3) 一些常见排列(4)随机 试验和随 机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果 不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则 称这种试验

2、为随机试验。(5)基本在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。一个事件就是由 中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用 表示事件，它们是 的子集。为必然事件，？为不可能事件。不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事 件；同理，必然事件（Q）的概率为1,而概率为1的事件也不一定 是必然事件。（6）事件的关系与、-Z* 运算BAB 如果事件A的组成部分也是事件 的组成部分，（发生必有事件 ） ： A B如果同时有A B,

3、 B A,则称事件A与事件B等价，或称A等于A、B中至少有一个发生的事件：ABA B,或者+ OABA与B的差，记为A-B属于而不属于的部分所构成的事件，称为1A-AB A B也可表示为或者AB,它表示 发生而 不发生的事件。 同时发生：，或者。A B=?,则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为；它表示结合率：A(Be) = (AB)C AU (BUC) = (AUB) UC分配率：(AB) UC=(AUC) (BUC) (AUB) C= (AC) U (BC)U , ABAB A B-UA BAA(7

4、)概率的公理化设 为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数定义3对于两两互不相容的事件AP A2,有常称为可列(完全)可加性。(8)古典概型1 ， 12n2。P( ) P( ) P( ) - o 12设任一事件A ,它是由，组成的，则有 12mp(a) = ( )( )U( ) =p( ) p()p() 12m12m(9)几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随机试验为几何概型。对任一事件A,P(A+B)=P(A) +P(B)-P(AB)当 A=Q 时，P(Q=I- P(B)(12)条定义 设A

5、、B是两个事件，且P(A)O,则称Eb为事件A发生条 P(A)件下，事件B发生的条件概率，记为P(BA) 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(B)=1 P( 7A)=1-P(B/A)2 A) P(A1) P(A91 A1)P(A AA2)nA )P(AB) P(A)P(B)则称事件是相互A B若事件，、R相互独立，且P(A) 0A B若事件口相互独立，则可得到:与“、A与二、二与二也都A BABABAB?与任何事件都互斥。设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB) =P(A)P(B) ； P(BC)=P(B)P(C) ； P(CA)=P(C)P(A)并且

6、同时满足 P (ABC) =P(A) P (B) P(C)那么A、B、C相互独立。1 22 nP(B) 0(i L2 ,n)U 1P(A) P(B1) P(A I B1) P(B2)P(AlB)P(Bn) P( A B)全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题，全概率公式的题型： 将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全 概率公式；设事件, %，Bn及八满足1。 112n0,1, 2,，nA n B.2o乙i 1则P(B A).inJ j 1此公式即为贝叶斯公式。2, J 1.1 n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 “因果”的概 率规律，并作出了 “由果朔因”的推断。将

7、试验可看成分为两步做， 如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用贝叶 斯公式。每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用P表示每次试验A发生的概率，则X发生的概率为，用n重伯努利试验中A出现k( k n)第二章随机变量及其分布设离散型随机变量X的可能取值为X (k=l,2,)且取各个值的概 k率，即事件(X=X)的概率为kP(X=x ) =p , k=l,2,， k则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律

8、。有时也用分布XIkk12k kk 1F(x)X 1有F (x) x f (x)dxf(x),对任意实数称为X的概率密度函数或密度函数，P(x1 X x2) F(x2)F(x1)f (x)dx积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与k k在(4)分设X为随机变量，X是任意实数，则函数P (a X b) F(b) F (a)可以得到X落入区间(a, b的概率。分布分布函数具有如下性质：1X ;2F(X)是单调不减的函数，即x x2B,有F(x? F(X)；XX4o F(x O) F(x),即F(X)是右连续的；5o P(X x) F(x) F(x 0) ok xk XnApA在 重贝

9、努里试验中，设事件 发生的概率为。事件 发X OQU ,nP(X k) P (k) Ckpkq中nnq 1 rO p Lk QL2 ,nX服从参数为n. p的二项分布。记为当时，P(X k) pkqk,这就是(0-1)分n 1k Ql设随机变量X的分布律为k k则称随机变量X服从参数为 的泊松分布，记为X” ()或者P()。泊松分布为二项分布的极限分布(np= n-) 0P(X k) qk p,k L23,其中 pH, q二P。设随机变量X的值只落在a, b内，其密度函数f(x)在a.11 axb其他，Q则称随机变量X在a, b上服从均匀分布，记为XU(a, F (x) X f (x)dx当a

10、x*2)内的概率为P(x X X ) j12 b a?其中O,则称随机变量X服从参数为 的指数分布。F(x)V正态分布设随机变量X的密度函数为1 L 2OM、工为常数，则称嫩L变量X服从参数为、的正态分布或局薪(Gauss)芬希记为2 o的图形是关于X对称的；2当X 时，f( ) 了匚为最大值；2参数 H Xe 趟E态分布称为标准正态分布，记为X -N(CU)1 -l e 2,X1 -是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(D (-) = 1- ()且(O) = 1。2如果N(,),贝IJ -N(Q1)。VP(x X X )e-i12P(X=;上分位表：P(X)= OX12nP(X X

11、)Y g(x)0YPF P,，PJ勺分布列(匕g(Xj)互不相等)如下：12ni12n的概1g(x)，；G)= Y y 心(x) (v),)U a V y V a，(1)/3 = 10,其它.第三章二维随机变量及其分布如果二维随机向量 (X, Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(,y),则称为离散型随机量。设 =(X , Y)的所有可能取值为(,y )(i, J U ),且事件 =(,y )的概率为 P.,i Ji J,为=(x, Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。P PU L(X.Y).如果存在非负函数C / / , I八 J I-A-CI 35f (% y) (X,y)边分别平行于坐

12、标轴的矩形区域D ,即D= (X, Y) axb, cyx 时,有 F (x,y) 2F(x,y);当 yy 时,有 F(x,y) 2F(x,y); 1 1(3) F (x,y)分别对X和y是右连续的，即1212P(x X122211211(4)离散型与连续 型的关系P P(X x) iiPP (Y y )X二XY二y在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为f(y)心也在已知X=X的条件下，Y的条件分布密度为性正概率密度区间为矩形随机变量若X,X,X,X ,X相互独立，h,g为连续函数,则：h (X, X,X)和g (X ,X)相互独立。特例：若X与Y独立，贝Irh(X)和g(Y)独立。例如：若X与Y独立，贝IJ ： 3X1和5Y-2独立。(9)二维设随机向量(X, Y)的分布密度函数为其中，0,0,1是5个参数，则称(X, Y)服从二维112记为(X, Y) -N ( ,2 21 12由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 X