第4节导数在不等式中的应用.docx

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1、第4节导数在不等式中的应用【知识衍化体验】知识梳理1、(1)单调增(2)单调减(3)常数函数2、第一行填：VV；第二行填：大、小；第三行填：大、小。3、(1)连续不断(2)极值、最大、最小基础自测1、(1)X(2)(3)(4)(5)2. D3. D4. B5. B分参得k皿在(0,+)上恒成立，令g()=史二，x(O,+)KX.gr(x)=1Jfv令g(x)=O解得x=e.g(戈)在(O,e)上单调递增，g(x)在(e,hx)上单调递减,Y(x)a=g(e)=岑=Jg6. D分离参数得机在(0,+电上恒成立，令g()=,贝IJg)=也p1.当XW(0,2)时，g(x)O,故g(x)在(2,+o

2、o)上增；22所以g(v)mm=g(2)=W，故加?，故选D.点评：含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，注意利用导数来求新函数的最值.【考点聚焦突破】一1例1、证明：(1)g(x)=X当x(0,1),gx)0,g(x)单调递增.所以g(*)min=g(D=1,所以gOO1(2)证明：r)=z当x(0,2),尸(X)0(x)单调递增.所以/(x)min=/=1一二，所以f()NJ4,又g()1,ee所以/()g()-3,又因为等号不同时取到，所以)g(%)-4,得证。ee点评：本题的(2)中要证明f()g()-1-f通常是研究(整体)函数y=(x)g(x),但这里我们e是研究局部

3、，即分别研究函数旷=/(%),丁=8。)的最小值，特别是注意到(1)中已经知道了g(x)1训练1：证明：(1)方法一：设(冗)=(工+1)1113一(2%一2),x1,+),则。(x)=Inx+-1,X设g(x)=1nx+-1,贝Jg(x)=J0，所以g(x)在1,+o)上单调递增，所以g(x)g=0,XX即(x)0,所以(X)在1,+)上单调递增，所以(X)MD=O7(-I4(Y-D2方法二：设力(X)=InX幺2,则f()=1-=g0,所以(X)在1,+00)上单调递增，所以2(x),(I)=O点评：方法一需要二次求导，而方法二中将InX分离出来，从而求导时只需要一次求导。(2)由(1)得

4、x1时处31nx,令X=),则即可得b-a竺2.x+anb-na2例2、解析：(1)/(x)=1nx+2当X(,4),f,(x)0,(x)单调递增.所以)min=/(!)=-1ee-X2(2)等价于证XInX+x弓r-下面分别研究左右两边，考虑左边的最小值大于右边的最大值。eeX91Y设g()=F一一7，则g()=meee当Xe(0,1),g(x)O,g(x)单调递增，当x(1,+),g(x)eeX2又因为等号不同时取到，所以X1nX+x二r一二。ee12点评：本题的(2)中要证明InX+1一年，通常是研究整体，即研究差函数eex12h(x)=1nx+1-+-,但是此函数的导数复杂，不容易研究

5、。所以调整为研究局部，即研究左右两X2边函数，要注意的是需要先等价变形为XInX+%W-r，这样可以借助(Doee训练2：解析：(1)由f(x)=3-32,/(O)=-I,得/(x)=3x-1当x(yo,T),f,(x)0,(x)单调递增，当x(1,+oo),f,(x)0),则hx)=1nx+1-,XX注意到z(X)在(0,+00)上单调递增，并且=0,所以当X(0,1),“(X)0,(x)单调递增.所以MX)疝I1=以D=1所以DxG(，+8)，都有/(X)g(X2)例3、解：分离参数得21nx+x+3,设以式)=21nx+冗+(x0),则(=生土芈二D,XXX当X(0,1),A,(x)O,

6、(x)单调递增.所以人(x)min=力=4，所以力(x)min=4.训练3：方法一：设F(X)=2x+1nx-4(d+),则小(X)二生3”二12,X当40时，取X=1,则尸=22a0,所以尸()0不可能恒成立，当。0时，令F(x)=0,得X=1,X=-(舍去)。a2当00,函数单调递增；当x!时，F(x)0),下面即求/?)=与g的最大值。X+xx+xh,(x)=(2x+1)(1-x-1nx)C+),令f(x)=O,则I-Jt-Inx=O,观察发现X=I是I-X-Inx=O的根,又；(x)=1一X-InX在(O,+oo)单调递减，1一X-InX=O的根仅有x=1,在(0,1)上x)0；在(1,+oo)上夕(X)O.周刈=2x+)nx在(O/)上单调递增；在(1,+0)上单调递减X+X附矶皿=力(1)=1,所以。的取值范围是y)