10课题学习最短路径问题.docx

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1、13.4课题学习最短路径问【目标导引】1.经历探究最短路径问题的过程，理解利用轴对称解决最短路径问题的实质.2,能在几何图形和实际问题中利用轴对称解决最短路径问题.3.体会图形的变化在解决最值问题中的作用.【学习探究】一、铺垫导入与自主预习相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛划的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得苴解的问题：从图中的营地A出发，到一条笔直的河边/饮马，然后到营地B.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”.1 .探究一：要求饮马地点到两营地的距离

2、之和最短.（1）如图13.4-1,两营地分别在小河的两侧，请你画出饮马地点的位卷，你的根拯是什么？为什么在点C处饮马距离和不是最短的？营地A图13.44（2）如图1342,如果把营地A移动到使两营地在小河的同侧,乂该怎么样设计呢?你的根据是什么？营地B营地A二.知识探究与合作学事C2 .探究二：在探究一（1）中，我们能容易利用两点之间，线段最短”来理解为什么要连接,但在探究一（2）中，为什么利用轴对称得到的方案（如图13.4-3）符合要求呢？如图1344,在直线a上任取异于点P一点p,连结刊、PA.PB、P*,小组交流为什么PAPBPrA+BPt?3 探究三:如图1345,已知牧马营地在P处，

3、牧童每天要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地，试设讣出最短的放牧路线.图13.4-5如图1346,把河流和草地抽象为锐角ZAoB的两条边，营房抽象为ZAOB内部的一点.建立几何模型，把实际问题转化为数学问题：”在锐角的两边上分别找一点，使它们与角内部的一点所组成的三角形周长最小”.（1）如图13.47过P点分别作PMOA、PNJ1OB,垂足分别为M、M此时ZkPMN的周长是否最小？分别作出P点关于04、OB的对称点P、P2;连结户2分别交04、OB于MN两点.如图1348,证明：ZkPMN的周长最小.3探究四：如图13.4-8,A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN,桥

4、造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假泄河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）如图1349,AB两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）试说明，当四边形MNBE满足什么条件时，从A到B的路径AMNB最短?【当堂演练】1 .如图13.4-10,在平而直角坐标系中，点A（-2,4）,B（4,2）,在X轴上取一点P,使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（）23 .如图13411,正方形ABCD的边长为8,点M在边DC上，且DM=2,点N是边AC上一动点则线段DN+MN的最小值为（）A.8B.8

5、2C.2VD.103如图13412,已知ZMON=40。，P为ZMoN内一宦点，C）M上有一点儿ON上有一点B,当的周长取最小值时，ZAPB的度数是（）.A.40oB.100.140oD.50图13卸刍412图134134如图13413,在RtAABC中，ZACB=90。,AC=6,BC=8,AD是ZBAC的平分线若P.Q分别是AD和Ae上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A.2.4B.4C*4*8D*55.如图13.4-14,A，B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道现要在这两根总管逍上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺

6、设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短.图中，点川是点A关于直线方的对称点，分别交债于点C、D；点F是点B关于直线”的对称点.BA分别交b、a于点E、F.则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（1）（2） 有一小球从点B水平向右匀速滚去，同时一个机器人从点人以同样的速度直线前进去拦截小球，请你在图中画出机器人最快截住小球的位宜点P.（作图要求：尺规作图，保留作图痕迹）（3） 在X轴上找一点。使AQCBQ的和最小.图13.4-15图13.4-152如图1346点A、B在直线加的同侧，点F是点B关于用的对称点,A氏交In于点P（1） 血与AP+PB相等吗?为什么？（2） 在加上再取

7、一点M并连接AN与NB,比较AN+NB与AP+PB的大小，并说明理由.tn图13.4-16二.能力提升3.如图13.4.17,ZA0B=30o,ZAOB内有一左点P,且OPTo在OA上有一点Q,OB上有一点R若APQR周长最小，则最小周长是多少？4如图13.4-18,在平而直角坐标系中，矩形OACB的顶点0在坐标原点，顶点A、B分别在X轴、y轴的正半轴上，0A=3,0B=4,D为边OB的中点.(1)点D的坐标为：(2)若E为边OA上的一个动点，当ACDE的周长最小时，求点E的坐标5如图13.4-19,矩形ABCD,AD=4,ZCAB=30。,点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是多少？6如图13.4-20,爪B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线从是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥.天桥应建在何处才能使由A经过天桥/C到B的路程最短？在图中作出此时桥Po的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹.（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）阁13.4-20图13.4-20