21 非线性光学耦合波方程.docx

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1、第二章耦合波方程及二次谐波的产生 2.1 言第一章我们讨论了光波在介质中传播时的响应过程，给出了光电场在介质中产生的极化强度及介质非线性极化率张量的表达式，并详细讨论了它们的性质。由于介质的极化强度随时间变化，它们作为场源产生辐射场，这些辐射场就是在介质中发生各种光学现象的光电场。这一章主要内容：（1）由非线性介质中的波动方程导出稳态和瞬态耦合波方程，以及曼利一一罗宾关系；（2）二次谐波（倍频）的小信号解及有泵浦损耗的条件下的解；（3）讨论满足二次谐波产生的相位匹配条件，包括角度相位匹配、温度相位匹配和准相位匹配；（4）二次谐波的有效非线性系数及高斯光束的二次谐波。 2.2 合波方程2.2.1

2、 非线性波动方程用麦克斯韦方程（MaXWen）组描述介质中的线性和非线性光学性质都是有效的。国际单位制的麦克斯韦方程组如下：VXE=-出t(2.2.1-1)VxH=-+jt(2.2.1-2)VD=/?(2.2.1-3)VB=O(2.2.1-4)描写电磁场对介质作用的本构方程：D=%E+P(2.2.1-5)(2.2.1-6)j=E(2.2.1-7)介质中无自由电荷和电流，则P=Oj=0分别在用V运算作用于VxP=-式左右两边得到t：VxVxE=-H0-V/=-0-tt(2.2.1-8)由VxVxE=-E及近似认为E=O;D=%E+P(2.2.1-9)(2.2.1-10)=E+0E+Pjvi=%(

3、1+4)E+浮.N1=E+P从而得到波动方程为：2AR闾步2SNA小结：非线性波动方程右边多了一个非线性极化项2a，此非线性项可以看作r一个波源，各种非线性光学现象的产生均是由此项引起的。它的物理本质是：强光场使物质内部的原子、分子电场发生了变化，这变化了的原子、分子内部电场反过来又对光场产生影响，使得各光波之间相互作用，彼此交换能量，从而产生各种非线性光学效应。2.2.2 非线性极化稳态耦合波方程上式中E=EIJ)是空间坐标和时间/的函数，通常是不同频率分量之和Em=E(M(2.2.2-1)n同样非线性电极化强度也写成多个频率分M之和PM卜J)=ZPJ)(2.2.2-2)n每一个频率分量用复

4、振幅表示，并沿空间Z方向传播En(z)=En(z)e%r即+(2.2.2-3)Pr(Z)=P；：(z)卬+cc对每一个频率分量都满足波动方程，如：看E”(z,Z)=4*%E(z)+4*P.(z,z)(2.2.2-4)方程左边:(Z)=C户+永昌户-加z2dz_z,vf=+2%-七区(Z)1(2.2.2-5)CrN1a?-.、1a“尸(Z)方程右边外宗夕(Z川+”t2(2.2.2-6)N1=一以。比E(Z)户-“-P,1(z)e”方程左右两边消掉项，dz+2I-k1En*:=-氏*.EeM-。：P,(Z)zz(2.2.2-7)线性响应条件且介质无损耗条件下，P，=0,乎#=0严，)=0z2zk；

5、En(Z)=6Enz)(2.2.2-8)在非线性响应条件下，户/()竽+2%T=荷浮(z)e为在慢变化振幅近似下，即-En(z)院三但(2.2.2-9)OZOZ振幅空间慢变化近似的物理意义:在空间约化波长1的范围内,振幅变化2很小,可以忽略0最后得到无损耗介质非线性极化的稳态耦合波方程为：为=(z)5(2.2.2-10)如果介质对光波有吸收，电导率b0,耦合波方程为：+(z)=i察P(z)e%(2.2.2-11)其中吸收系数：=丛吗2&耦合波方程的其它表达方式:存在走离(离散)效应的耦合波方程靖(Z)Idz2kncosan(2.2.2-12)。为光束的离散角(走离角)：tana=-Jy-sin

6、26(2.2.2-13)2nsn+ncos(。为波矢与晶体主轴的夹角，。和,分别为晶体主轴折射率。考虑到光束的横向变化，如对于高斯光束情况；非线性耦合波方程为EnEn.疯-N1_ik2ccc八-tanan+=Pne”(2.2.2-14)xz2,cos2a瞬态耦合波方程：(2.2.2-15)En1En以。；p*-%t2kn%为频率为以光的群速度，=-+-=;g”为q光的振幅包络色散系vgnccad数。2.2.3 二阶非线性效应耦合波方程用非线性极化方程研究二阶非线性效应，如二次谐波产生(倍频)、和频及差频。通常情况下，在介质中有三个波彼此相互作用。将其中两个波作为输入光,而另外一个波作为输出光。

7、两个输入光场E1和金，对应的角频率为例和02，都沿着Z方向传播。首先假定两个输入光场在非线性介质中诱导的二阶极化强度A),对应的频率为g=%+G2。由公式：尸W)=D%(_%_%；%,%)J月(%)e(%)(2.2.3-1)得到P(用)=2%/)(一例MIg)E9(2.232)带入非线性极化耦合波方程：粤D=i画Z(2)(-例；g)E1(Z)E2(z)蠹(2.2.3-3)OZ式中=K+&-%,为三个频率的光波矢在共线条件下的相位失配量。利用/外=,和=色ycc上式重写为：，（J=i丝.（一t；秋,。2）：EI（Z）E2（z）e*（2.2.3-4）zcn3因为介质中三波彼此相互作用，在和频的同时

8、，其逆过程差频也会发生，即产生的光波外与两个输入场的其中之一混频（用-6）母或（外-四）t这两个相互作用对应的二阶极化强度为*（如=23/）（一小电,一用）：而（Z）E（Z）*&山Z（2.235）P侬）=2%/）：R（Z）百（z）dfz（2.236）两个差频过程的耦合波方程为Y）=（一。；例,一牡）：E3（z）2（z）e-/Afc（2.2.3-7）OZCMj，心Z）=-/2）（-牡;电,一Gj:E3（Z）E1（z）e%（2.2.3-8）引入有效非线性极化率比产）（_四；电一例）=功./2）（_q；电,一牡）：342（2.23-9）如果介质对频率为例,伤，例的光波都是无耗的，即叼，/，外远离共振

9、区，则产（-6M,6）,力（Ty1；%-?），/）（Ty2；口3,Ty1）都是实数。进一步考虑它们的完全对易对称性可以证明：Zeff=0.比（一可；外，一生）：的。2=2-2i,-1）,aya./=。3，-32）:aaZcff=Z（2）（一例;%-牡）0a2a3或写成：=/（一叱；例，一例）.（2）.-（-31,2）aia2a3二阶非线性极化耦合波方程NMZ(2.2.3-10)鸣（Z）=也必2）（_%_0jE3（z）&（z）e粤=必婷(-绮黑耳(z)e(2.2.3-11)azcn1IE，)=i丝/二(-例;四,啰2)&(z)&(z)e必(2.2.3-12)azcn2t耦合波方程是描述相互作用的

10、每个光波的振幅在空间上的变化规律，或者说在光束传播Z方向的变化规律。2.2.4曼利罗关系对于无损耗介质，曼利一一罗关系表明三波混频的光波所携带的总能量在介质内处处相同，光场与介质之间没有能量交换。实际上是假定三束耦合光波的频率远离共振区、极化率张量具有完全对易对称性和时间反演对称性的必然结果。考虑每个波的光强空间变化情况。光强/的单位为Wc,表示单位时间、单位截面的光子通量。(2.2.4-1)4=；4s,EE=；ncniEi式中i=1,2,3,为每个不同频率的光波对应的折射率。频率为例,g，电的三个光波光强在空间上变换具体写为=Iq中卜&Z,/(z)E；(Z)E(Z)+c.cIS)(2.2.4

11、-3)=玲与燔国(Z)E；(z)片(z)产+c,c能旦=iy。燔国(Z)E(Z)/(Z)IAfe+Cc(2.2.4-4)=玲与煮耳(Z)E2(z)E；(z)e*+cc两边共挽得：笠2=-i-0耳(z)8(z)自*+CC(2.2.4-5)介质中没有线性或非线性吸收，即非线性极化率是实数，并考虑到克莱曼对称性，即某一特定介质的二阶有效非线性极化率/;)是常数，独立于频率。224-3、224-4和224-5相加I,得到，(4+八+A)=。(由例=例+你得)另外光子通量，即沿Z方向单位截面的光子流密度为：Nj=jO=1,2,3）h）j可得至IJg1=也dzdzdz上式成为曼利一一罗关系，表示当介质对光场无吸收，且满足用=可+在时.，频率为例的光子数的增加（或减少）量，与频率为例的光子总数的增加（或减少）量相等，并且与频率为？的光子减少（或增加）量相等。