《用二分法求方程的近似解》教学设计.docx

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1、3.12用二分法求方程的近似解目录一、教学背景分析11 .教学内容分析12 .学生学情分析1二、教学目标设计23 .知识与技能24 .过程与方法25 .情感态度与价值观2三、教学策略分析2三、教学过程的设计与实施3北京市顺义牛栏山第一中学陈义明本节课选自普通高中课程标准实验教科书必修1（人教A版）第三章函数的应用第一节函数与方程第二小节用二分法求方程的近似解.一、教学背景分析1教学内容分析函数与方程是中学阶段研究的重要数学模型，本节课是学生在系统学习了集合、函数的概念及性质以及基本初等函数（I）之后，研究函数与方程关系的内容，是函数与方程一节的重点.二分法是数值计算中最简单常用的一种方法.本节

2、课学生通过对具体实例的探究，借助图形计算器用二分法求相应函数零点的近似解，经历用函数的观点看方程的思维过程，在问题的解决中突出函数的应用，深化对函数与方程联系的理解，初步形成用函数观点处理问题的意识，这是本节课的一条明线；总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，发展学生的数学抽象能力，是本节课的一条暗线.这也是研究程序性知识的一条主线.图形计算器可以实现求方程的近似解，但是内置的程序是由人设计的，并且“二分法”的产生要远远早于计算器，因此对于此内容的学习是十分必要的：我们要“教”计算器如何求解.2.学生学情分析初中阶段，学生学习了简单的一元一次方程和一元二次方程，并会用求根公式求一元

3、二次方程的根；高中阶段，学生学习了基本初等函数（I）,对指数函数、对数函数、塞函数的图象和性质都有了比较深入的研究，同时对“数形结合”思想有了较为深入的理解和应用；另外，前一节内容的学习，不仅把函数与方程联系起来，还可以利用零点的存在性定理判断零点是否存在。这些都为本节课的学习奠定了基础.同时对已经学过此内容的高二、高三学生的调研发现，学生对于“精确度”的概念非常模糊，这也对我们的教学提供了参考.二、教学目标设计基于以上分析,根据本节课的教学内容、课程标准的要求和学生的实际情况，确定本节课的教学目标为：1 .知识与技能（1）通过具体实例，能够借助图形计算器用二分法求相应方程的近似解（给定精度）

4、，体会二分法的思想，了解这种方法是求方程近似解的常用方法；（2）通过具体实例，归纳概括二分法的实施步骤，并用准确的数学语言表述出来；2 .过程与方法经历借助图形计算器画出具体函数的图像、用二分法求函数零点的近似值、总结二分法实施步骤的过程,体会其中所蕴含的函数与方程思想、数形结合思想、逼近思想以及从具体到一般的研究方法等；3 .情感态度与价值观引导学生用联系的观点理解有关内容，沟通函数、方程、不等式以及算法等内容，使学生体会知识之间的联系；发展学生的理性思维.【教学重点】理解二分法的基本思想、会用二分法求方程的近似解.【教学难点】精确度的概念、归纳概括二分法的实施步骤并用准确的数学语言表述.三

5、、教学策略分析为了更好地突出重点，我在引入环节通过具体实例以及介绍历史上方程求解的发展脉络引入课题一一求方程的近似解，首先解决了“研究什么”、“为什么研究”的问题.至于“如何研究”则通过具体实例InX+2x-6=0阐释.在这个过程中借助图形计算器充分体现数形结合思想，并将数形结合思想具体化落实：1从数到形：方程的解一一函数的零点一一函数图象与X轴的交点；2.从形到数：交点的坐标一一数轴上的区间一一表格数据一一二分法的形成.为了突破难点，在具体实例的解决中采用问题串的形式引导、激发学生的探究热情：”如何将零点所在区间缩小”、“如何停止”等，由此引出“精确度”的概念.为了突破此难点，首先在引入中用

6、“误差”做铺垫，同时利用数轴进行直观解释.而从具体实例中的二分法上升到归纳概括一般步骤对于学生是困难的,在教学中首先在解决具体问题中引导学生思考“第一步做什么，第二步做什么”，然后引导学生用文字语言表述并尝试用数学符号语言表述，同时利用数轴的直观来突破符号语言中“赋值”这一难点.本节课的核心内容是“用二分法求方程的近似解，体会二分法思想”，为了不冲淡本节课的主题，在教学中设计应用口图形计算器：作图功能、表格功能（计算函数值）、求解功能.图形计算器的使用，可以帮助我们实现“数形结合”的具体化落实，对知识的发展起到了助力作用.三、教学过程的设计与实施（一）具体实例，引出课题【问题1】2018年5月

7、15日北大珠峰登山队成功登顶世界第一高峰珠穆朗玛峰，以此庆贺北大建校120周年.我们知道，随着海拔的升高，大气压强会降低,空气中的含氧量会降低，影响人的身体.（1）登山队员为了实时监测身处地的大气压强，从某公司购买了先进的气压表，在其产品参数中有这样一句话:经订正后测量误差不大于200Pa,你如何理解这句话?（2）已知大气压强y（单位Pa）与海拔X（单位m）问的关系式为：y=25885xn(2檄15-00065x)T82573.2()18年5月13日登山队计划前往海拔7790米的营地，但是某队员身体不适，当压强降低为海拔的5.5倍时他就必须停止攀登，此时他能否到达该营地呢？【设计意图】从一个实

8、际问题引入，首先让学生体会现实生活中存在大量取近似值问题,如生产零食袋上标注的净含量、2疗的正方形地面砖等，另一方面（1）中的“误差”也为要学习的“精确度”概念做铺垫.对于（2）可以从两个角度将实际问题转化为数学问题：一是求方程一25呐3850065止电2573=5.5天的解，与7790比鼓；二是将7790代入关系式求出压强，利用压强与海拔的比值进行判断.本节课我们抓住角度一，让学生产认知冲突，激发学生的求知欲望并体会求近似解的必要性，同时引入方程求解的历史，让学生感受数学文化方面的熏陶.这样我们就解决了“研究什么”、“为什么研究”的问题.(二)问题引领，探究方法【问题2】如何求方程1nx+2

9、x-6=0的近似解？【设计意图】由于问题1中方程较为复杂，为了计算方便研究此方程,引导学生从函数与方程联系角度将求方程的解进行转化：一种是转化为求函数/(x)=1nx+2x-6零点的近似值；另一种是将方程变形为InX=6-21，转化为求函数y=Inx,y=6-2x交点横坐标的近似值.通过学生小组合作探究、教师追问解决如下问题：函数的零点是否存在？如果存在有几个？并找到零点的一个大致范围.二分法源于逐步搜索法，该方法基于连续函数零点存在性定理：按某规则将区间可分成若干个子区间，在每个子区间上计算端点值，一旦发现两端点的函数值异号，则可断定该子区间上至少有一个零点.本节课作为二分法的起始课，确定初

10、始区间。,句是十分重要的，因为我们只需要求出一个零点即可，不需要考虑所有零点，所以课本上给出了一个单调函数的例子(至多有一个零点).T卜九SPireCXCCAS.未保存DQ可以通过两种途径寻找零点大致范围：借助图形计算器画出函数图象；利用函数零点存在性定理判断.如果学生选择前者，那就需栗用零点存在定理进行验证；如果学生选择后者，要引导学生通过图象观察函数的单调性，以此来确定零点个数。这样就实现了退出vNG开机“从数到形”的具体化落实：方程的解函数的零点函数图象与X轴的交点.【问题3】如何将函数/(x)=hi+2x-6零点所在的区间缩小？【设计意图】这是引出二分法的一个关键问题所谓的将区间“缩小

11、”即是在区间内取点，而要确保零点在新区间内，则函数在该区间内应该满足零点存在性定理的条件，这样就会涉及到端点函数值的计算.一般情况下，在区间内取的点应该是特殊点：中点、三等分点、黄金分割点等，而取中点是最容易想到的，它从图形上看是对称的，从数字上看也是对称的，因此用取中点的方法缩小区间.在教学中追问学生为何选择取中点，让学生给出选择的理由，发展学生的理性思维.实际上对于为何取中点来缩小区间学生是有疑义的，但是由于学生还没有进行函数端点值的运算，也没有对不同取点方法进行比较，因此对二分法的“运算简便”(快速缩小区间)是没有体会的,在教学中设计先利用二分法求函数/(x)=1nx+2x-6零点的近似

12、值，学生经历“运算体验”以后，利用运算进行简单解释：二分法经过4次函数值运算以后将原区间缩小为原来的1,而取三等分4点的经过4次函数值运算才将原区间缩小为原来的当然，这里只是针对这几种3取点方式的比较，从整个数值分析学科来看，二分法一般收效比较慢，常用于粗算.【学生活动】利用“取中点”的方法，将函数零点所在的区间进一步缩小.【设计意图】利用图形计算器的表格功能对函数端点值进行计算，将区间逐步缩小.应用图形计算器进行运算主要考虑要围统本节课的核心展开教学，而不要在计算函数值这样的末节问题上花费学生太多精力.在取中点的过程中，通过数轴直观显示每次研究的区间，让学生体会“新区间”与“旧区间”在“地位

13、”上的“平等”：都含有函数的零点；同时，图形计算器表格中的两个端点始终用a,b聂示,这样主要是为后面总结一般步骤时的“赋值”做铺垫.图形计算器的一+nspreexcCAS23二IC22.53- -+22.52.753- -+22.52.6252.753_+二汁_t2.52.562532.53125表格直观显示了函数端点的取值情况，这样就实现了“从形到数”的具体化落实：交点的坐标数轴上的区间表格数据二分法的形成.另外，学生利用数轴将区间缩小的过程中能体会到：对于零点所在的区间我们可以做到“要多小有多小”，也就是可以无限缩小下去，从中体会“逼近”的数学思想.【问题4我们采用“取中点”的方法逐步缩小

14、零点所在的区间，既然是求近似值，那该如何停止呢？【设计意图】在初中阶段，学生接触过“精确到”的概念，它与“有效数字”是密切相关的；而此处“精确度”的概念与之是不同的：“精确度”是在无法求得精确值的前提下，通过近似值与精确值的差的绝对值小于某个具体数值，而对精确值的一种近似：对于数值X*,满足卜-1的X即工的满足精确度为的近似值.在教学中设计让学生分组交流给出“停止”的标准，学生类比“误差”的概念能够给出“精确度”的概念，但是对于如何刻画这个差值学生是有困难的.因此在教学中引导学生崇试找到满足条件的区间（含有精确值且区间长度小于精确度）来解决，并利用数轴进行直观解释.具体来看就是：对于数值广,如

15、果要获得它的满足精确度&的近似值，就是找到一个包含父的区间可，只要Ia-目e即可.此时对于任意Xa,b,有,TTt.dX*Xbx-x*|a-/?|因此可以将区间,句内的任意一点作为近似值.特别地，可以取区间端点作为近似值.在教学过程中，引导学生理性看待“精确度”的概念，发展学生的数学抽象能力，培养理性精神.对于“停止的标准”有的学生可能会用函数值与O进行比较，这种方法与研究函数的趋势是有关系的，不具有普适性；另外在实践中我们也不采用这样的方法.紧接着，以精确度为0.01为例确定所求函数的零点的近似值X=2.53125.【问题5】前面我们得到了函数/(处=111工+2%-6精确度为0.01的零点的近似值,也就是方程1nx+2x-6=0的近似解.那如何判断这TispMecxcCAS。,tv_KfI退出-AG开色个解是否相对准确呢？【设计意图】合理检验是学生提高运算能力和操作水平的重要步骤，按照之前的经验，将求出的值代回函数或方程检验是不现实的，因为它本身就是近似值，代回后所得结果一定不为0.而利用图形计算器独有的求解功能，可以求出任意方程的近似解，与我们所求近似解