K值法解决中值定理2023年个人用心整理.docx

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1、K值法解决中值定理的问题1 .设fM在他力上具有连续的二阶导数，求证：汨式。力),使得C(X心=SF)A绊)+=S。)3/也)2 24。2 .设f()在出力上二阶可导，求证：至少存在一点g3力),使得Cfdx=(b-d)f-f)(b-a)i414。3 .设/(X)在3力上连续，在3力)内二阶可导，求证：三看(。力)，使得2f(b)-2f()+f(a)=f()乙一4 .设/(X)在()上存在三阶导数，81.证明：存在生3力)，使得fS)=/3)+；S。)(r3)+fb)fn)O5 .设/(X)在4切上二阶可导，证明：对于DXW3力)存在3(a，b),使得1r-)-)1-、-dZJ=()X-Dx-

2、ab-a26 .设函数F(X)在国，句上可导,在他力)内二阶可导，若acb,证明:存在、w(,b),/3)If(b)I/(c)=1f使得(。一份(。一C)(b-a)(b-c)(c-a)(c-b)2。7 .设有实数勾必2，。，其中白。2为，函数/()在%，%上有阶导数，并满足/(。)=/(。2)=/3)=0,证明：对任意的Caa1M,都相应的有JWq，肉),使得/(C)=nfnX)上面7个小题均可用同一种方法证明，即K值法。下面证明1,7,其余均可类似证明pha+bJa2-(b-a)31解：令24设g。）=受）弓（）次则g(G=gS)=O,所以由罗尔定理知存在一点/gS)使得g(/)=0。g()=/(X)-/()f()-x-d)1K又ZZZo/(X0)=+f()+-(X0-a)2K所以22，28。一十%在2处将/a)展开泰勒展式，并令X=”。，得到/()=/(警)+弩,()(-4f)ZZZo(x0,-)(,Z?),产其中2,比较，得K=J(幻。匕(bfx)dx=(h-a)f(-)+-(b-a)3f)所以存在外吏得7224kJJa07解：当=4,4q,结论显然成立C-%)-*当CWa1，。24时，令g(x)=(Dd2)()K设！g(%)=g(a2)=.=g(at1)=g(c)=O用次罗尔定理知，存在e(qeQ,使得g00(=,即re)=K,所以命题成立。