不动点与蛛网图（学生版）.docx

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1、不动点与蛛网图不动点与蛛网图第一讲实数数列的“不动点”一、相关的概念1、数列的“生成函数”：也叫数列的“特征函数”.q+fy，外X得到的函数如：%+1=。：，把%+1当作y,把4”当做X=y=2;2、数列的迭代：根据初始值及递推关系逐一计算数列各项的过程.前一次计算时的y,是后一次计算的X.3、数列的不动点：满足凡讨=4,CN-的句的数值.例1.己知4=,+1=N+.若6是常数数列，求4的值.解：=4+1=4=%,；4=或。“=1,工4=或1(1)数列的“不动点其实不是点，而是数值；(2)若4=不动点，则数列是常数数列，凡二不动点.二、进一步分析：满足。用=勺，eAT的勺的数值，叫数列的“不动

2、点”；任何实数数列都有不动点吗？=8=4=a/+8=On为无实数解例2.己知数列4满足=。，4川=d+尻若数列4有不动点，则实数b的取值范围是(1)数列角度卜aOaj+b=o2+b=0nA=i-4b0=b;IAM=4一+4(2)函数角度：1;有解0丁+力=XoX2-+,=onA=一4h0nby=xi+b4(3)函数图象的角度：数列q有不动点=生成函数的图象与直线V=x有交点；生成函数图象与直线y=的交点的横(纵)坐标二不动点.例3、己知数列q,满足q=%+=aj+4neN则()A.当b=;时，VR,q10恒成立B.当方=1时，FawR,%。10恒成立C.当人=一2时，YaeR,q010恒成立D

3、.当力=-4时，DR,410恒成立解：(1)当后：时，数列%有不动点，即2=，?=+有实数解;4U+=4Iy=X(2)图象角度：当6耳时抛物线尸XF与直线广、有交点:(3)不动点X。的数值：B中6=。，由d+9=得：C中b=-2,由/-2=X得：/=T或2D中b=T,由一_4=X得：T折。2选项B中，取q=g,则a”=g，o1不成立；C,D同理可排除.实际不用算，看图判断出：不动点10为什么恒成立?1、观察抛物线和直线的位置关系:(1)函数角度：y=恒成立;(2)数列角度：川=。/+“恒成立;=4严格单调递增2、如何保证4010呢？.a74,16.*.10a81610三、不动点的分类例4.已知

4、q=4,rt+1=2an-bwN.讨论%的单调性.解：(1)当4=1时，q,=14为常数数列；(2)当41时，用归纳法或同号法，可证明：an*on+1-an=an-1Q凡递增如q=2时，=23,5,9,17.。”与不动点七=1的差，随n增大而增大.(3)当41时，同理可证q0,-1-3,-7,与不动点Xo=I的差，也随n增大而增大.总之，当工1时，随着n增大，逐渐“远离”不动点.；，-I”这种不动点，叫“排斥不动点例5.已知4=。，q+1=3“+3，eN+.讨论)的单调性.解：(1)当4=1时，q,=14为常数数列；(2)当41时，如q=2时,=2空？24816数列递减，随n增大，向不动点=1

5、逐渐“靠拢”；(3)当4蛛网图的原理！2、数列的“生成函数”：4+y,4Tx得到的函数n*=2%+1的生成函数是：3、数列的不动点：满足凡X=。”，的%的数值，叫数列的“不动点”；(1)数列本身的角度：当/=不动点时，%为常数数列.不动点分成：吸引不动点，排斥不等点等.(2)生成函数图象的角度：数列q有不动点=生成函数的图象与直线=工有交点；不动点=生成函数图象与直线y=的交点的横（纵）坐标.第二讲“蛛网图”的来历和木质一、“蛛网图”的来历和本质上节课例4.已知6=2”-1,eN+.讨论4的单调性.当4=2时，a2=2a1-1=3ay=Ia2-1=5前一步的y，是后一步的X迭代计算是一个代数运

6、算的过程；“蛛网图是把迭代过程T几何（图象）化处理.已知=,an+i=2a,-1,eAT.讨论/的单调性.%=O时，=0,-1,-3,-7,.刚才是在X轴、y轴上转换的.我们也可以通过辅助线/：y=进行转换.蛛网图：利用数列的生成函数图象，以及辅助线/：y=,对迭代过程进行图象化处理.（1）画出生成函数图象和直线y=4（2）当X,生当y，在生成函数图象上画出（4,出）点；（3）向直线y=工作水平线，得交点（/，出）；（4）向生成函数图象作铅垂线线，得交点（%，），DaddyMiumny前一个y代数迭代过程辅助线/：y=x姝岛图Baby二、不动点的类型和性质上一课中，我们提到有“排斥不动点”和“

7、吸引不动点”等.现在用“蛛网图”来验证不动点的以下性质：对于=/（见）型的数列，若该数列有不动点，记某个不动点为与，（I）若/（XO）1，则该不动点为“吸引不动点”；（其中/（力不恒等于0）（2）若尸（XO）1,则该不动点为“排斥不动点”：（3）若/）=1,则该不动点对一侧吸引，对另一侧排斥.1、,（x0）1,吸引不动点定理：当/(力0时，若%6,则数列递增;若4,则数列递减.定理：当/(x)o时，若44,则数列递增;若见4,则数列递减.3、/=1时J(X)X，左恻排斥,在侧吸用数列单调递增：tzw+1,eN+；数列严格单调递增：nzzt,N+.数列是否严格单调递增或严格单调递减，与生成函数单

8、调性以及初始值有关!本讲小结1 .不动点的分类相交型不动卢排不不动点相交型不动点：V,()=1,X2=3.*.4(0,1或q3,+)例5已知数列a,J满足。向=号，且对任意N+,有&+|可，则为的取值范围是解：由X=。得:2x2-3x+1=0,不动点=:，.v2=13-2x2画出函数y=hI-及直线y=X的图象3-2x(1) 4g时，；是吸引不动点，数列递增；(2) :41时，!吸引、1排斥n数列递减；223(3) 时，1排斥n递增至IJ高台跳水”；3(4) 4时，叼0,数列,满足4H=IP-qJ+24fj+p(N+),首项为，前n项和为stt.若SnS3对任意nwN,成立,则-的取值范围为.

9、P3?%n一=在/：y=x上方，数列递增x+2pfxp(2)Sz,S3恒成立是什么意思？S4S3fa40S2Sy0.*.aia2ay0a43a,?ap(3)4川=,*：a1a2ayOp%+2p,anp；电=4+2p0，=1+4pa4=ai+p0.-65-4P法2：an+i=p-a11+2a11+pan+i-an=p-an+an+pJ2p,anp.”0,，a“+-a”0,，a递增,a,f+2,1增，S记数列的前n项和为&则7;,H0且a0后面同理本讲小结1、不动点和蛛网图的应用应用I、判定数列的单调性和极限；应用2、已知数列的生成函数及单调性，求4的取值范围2、注意事项(1)灵活选用不动点的性质

10、、蛛网图法或代数方法；(2)生成函数不连续时，要注意间断点两侧的不同情况.(3)碰到复杂而陌生的问题，要注意“退”的思想和“换无法”的应用.第四讲“不动点”和“蛛网图”的应用应用3、已知数列单调性，求生成函数中的参数范围例1.数列再,满足玉=0，X”+I=Tj+x,r+c,若卜“单调递增，则实数C的取值范围是.分析：生成函数y=-+c,抛物线随着C的变化而上下平移.(1)当C=O时，从不动点角度：令x=/+/,=/=。=相切从数列角度：C=O时，/“=-+Vf=0=%=0(2)当cx,J递减(3)当c0时，假如c=0.5,蛛网图判断：(4)怎样才能避免后面递减？迭代过程落在递增区域内！前一个y

11、,是后一个=ymax对称轴，即：顶点不得高于直线y=c!例2若数列q满足4=g,an=-annt若对任意正整数n都有qxf则数列递增，4V2的必要条件是：方程=g2-+m有解IX2-2x+=0有解=A=4-2w0,.*.m22(2)当7=2时，抛物线与直线V=X相切q=3，在直线y=r上方迭代，数列递增，不动点为2，.答案：C例3数列“满足4=1，*1ea1+,若对一切七+,2,则m的取值范围是A.rn2Bm2C.w3D.2m3解：生成函数为y=ei+=左加右减：J=ev+1,向右平移m个单位(1)当“2时，图象在直线y=上方，没有不动点，无限递增，不合题意；(2)当7=2时，相切型不动点2生成函数递