专题10 简单几何体的表面积与体积（核心素养练习）（解析版）.docx

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1、专题十简单几何体的表面积与体积核心素养练习一、核心素养聚焦考点一数学抽象-与球有关的切、接问题例题8.(1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切,则该球的体积为.(2)正方体的全面积是冷,它的顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是.(1)【参考答案：I+4【解析】由题意可知球是正方体的内切球,因此球的半径为1,其体积为突(2)【参考答案】孝【解析】正方体内接于球,则由球及正方体都是中心对称图形知,它们的中心重合.可见,正方体的对角线是球的直径.设球的半径是二则正方体的对角线长是2厂依题意,2r=小即所以S球=4小=4舄考点二数学运算-棱台与棱锥之间关系的综合问题例题9、已知正四棱台(上、下底是正

2、方形,上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6,高和下底面边长都是12,求它的侧面积.【解析】如图,E,E1分别是BCBG的中点,O。分别是下、上底面正方形的中心,则OQ为正四棱台的高,则010=12.连接OEQiEi,则0E=B=12=6,0E=AB=3.过Ei作E1H工OE,垂走为H、则E1H=O1o=I2,0=QE1=3,HE=OE-OIE=6-3=3.在RSE1HE中,七1炉=办“2+2=22+32=32乂17,所以E1E=37.考点三直观想象-组合体的表面积与体积例题10.如图,梯形ABCD中/。8。,乙4%?=90。4)=4,8。=2凡/。3=60。,在平面ABCD内

3、过点C作I_1CB,以/为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积.bcad【解析】如题图,在梯形ABCDABC=9QoAD/BCyAD=a,BC=2a1ZDCB=6O0j：.CD=ao=2aABCDsin60o=3a,.DD,=AA,-2AD=2BC-2AD=2at/.DO=DD,=a.由于以/为轴将梯形ABCD旋转一周后彩成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥.由上述计算知,圆柱母线长小/底面半径圆锥的母线长”底面半径.圆柱的侧面积S=2Q254=4y3a2,圆锥的侧面积S2=a2a=2a1,圆柱的底面积53=(2a)2=4兀R圆锥的底面积54=a，组合体上底面积Ss=S-3-S4=3

4、P,旋转体的表面积S=S+S2+S3+S5=(439)t72.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积.Vu=S=(2a)23t=43a3,Vt=s%=(2.y5=坐花3,：.V=Vu-V炊=4小-坐/=UT兀二、学业质量测评一、选择题1 .半径为R的半圆卷成一个圆锥,则它的体积是()A.好ttR3B,且tR3C,也ttR3D.Ri248248【参考答案】CR【解析】设底面半径为八则2r=4R所以r=一.2所以圆锥的高=JR2一/=Br.2所以体积V=r2h=-3(RY3一2故选：C.2 .在梯形ABCO中,ZABC=90o,ADBC,BC=2AO=2AB=2.将梯形AB

5、CD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）C.二D.232A.3【参考答案】C由题意可知旋转后的几何体如图：直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1,母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体,所以该组合体的体积为v=-=i22-i2i=故选C.3 .在棱长为。的正方体中,连接相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为（）1QB.C.D.34612【参考答案】C【解析】此八面体可以分割成两个正四棱锥,F1正四棱锥的底面是一个边长为J（WJ+（微J=孝。的正方形,则该八面体的体积为:2-a2=1322）

6、64 .九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图,米堆为一个圆锥的四分之一）,米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛【参考答案】B【解析】设圆锥底面半径为I,则x2x3r=8,所以二3、所以米堆的体积为,13（g）25=%上434339320故堆放的米约为W162=22,故选B.35.如图所示,多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为3的

7、正方形,EF/AB.E尸=一到平面ABCD2的距离为2,则该多面体的体积V为（）22【参考答案】D【解析】解法：如图,连接E&ECAC,则Ve.abcd=322=6.AB=2EF.EFAB S辿B2SWEF 1z11z3=vE-ABC=-vE-ABCD= W=VE-ABCD+Vf-EBC解法二：如图,设G,H分别为AB.DC的中点,连接EG,EH,GH.则EG/FB.EH/FC,GH/BC,得三棱柱EGH-FBC. E-AGHD=SAGHDX21c3-c=-3-2=3,321339vGH-FBC=3vB-EGH=E-BGH=3VE-GBCH=-VE-AGHD=-3=915 W=VE-AGHD+

8、%GH-f8C=3+5=万解法三：如图,延长EF至点、M,使EM=AB=3,连接BM,CM,AFQF,则多面体BCM-ADE为斜三棱柱,其直截面面枳S=3,则VBeM-ADE=SAB=9. 又平面与平面七平行,为EM的中点， F-DE=Yf-FCA/， F-BCM+F-ABCD=BCM-ADE即NF-BCM=9-gx3x3x2=3,315.VF-BCM=5V=BCM-ADEYF-BCM二万故选：D6 .若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为5,它的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是().A.130B.140C.150D.160【参考答案】D【解析】设直四棱柱ABCZ)-Ag

9、C2中,对角线AC=9,=15,因为AA1平面A3CZACi,平面488,所以AA_1AC.在RfAA1AC中,AA=5,可得AC=JAC24A?=可、同理可得BD=yDiB2-D,D2=-OO=102.因为四边形ABCo为菱形,可得ACBD互相垂直平分，所以AB=AC)2+(1BD)2=14+50=8,即菱形ABCD的边长为8,因此,这个棱柱的侧面积为S=(AB+BC+CD+DA)AAy=485=160,故选D.78 .（多选题）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为24A?B.圆锥的侧面积为24R2C.圆柱的侧面积与球面面积相

10、等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2【参考答案】CD【解析】依题意得球的半径为凡则圆柱的侧面积为2乃Rx2R=4%R2,A针圆锥的侧面积为Ry5R=小R?、：,B错误；球面面积为4tR2/圆柱的侧面积为4R2.JC正确：%柱=心2R=24内，唳锥=gN.2r=RvR3%柱：VJa1tft:VfcK=2rK：:=3:1:2,D正确故选：CQ.9 .（多选题）已知AABC的三边长分别是AC=3,8C=4,48=5下列说法正确的是（）A.以BC所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为15B.以BC所在直线为旋转轴,将此三角形旋转周,所得旋转体的体积为36;TC.以AC所在直线

11、为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为25D.以AC所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为16万【参考答案】AD【解析】以BC所在直线为轴旋转时,所得旋转体是底面半径为3,母线长为5,高为4的圆锥,其侧面枳为r35=154,体积为一xx3?x4=2,故A正确,B错误；3以AC所在直线为轴旋转时,所得旋转体是底面半径为4,母线长为5,高为3的圆锥,侧面积为4x4x5=20万.1,体积为一X万X4?X3=164,故C错误,D正确.3故选：AD.二、填空题10 .己知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为一.【参考答案】?2【解析

12、】设正方体边长为。，则6H=18=/=3,144279外接球直径为2R=y3a=3,V=-K=-=-.338211 .如图,在长方体ABC。A1BGA中,AB=AZ)=3cv,A4=2cm,则四棱锥ABBQQ的体积为Cm3.AO=述解析】如图,过A作AO1BDJO/长方体底面ABCD是正方形,二ABD,BD=325B1CB又由AO_1881,AOJ,6O；人。，平面3隹。,匕明卬,=g32半=6.12 .如图,在圆柱。2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱0/02的体积为力,V1球。的体积为%,则I1的值是%【解析】V_r22r_33设球半径为八则葭Fr=5.故参考答案为5

13、12.如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分当以直径AB所在直线为轴旋转一周时,得到一几何体,则该几何体的表面积是,体积是.（其中/BAC=30）【解析】如图所示,过C作Ca，AB一点由题意得NBcA=90,NRAC=3()AB=2R，AC=邪RBC=R,CO、=与R.S球=4R2,SB1mAoM=x今RX小R=,S圆椎股侧=TX与RXR=与元R?、,S几何体表=S球+S例锥Aq恻+oo1wj=A?+TrR“+-tR2=-JiR,4又V=-R%愠。=；Aa/CO；=：乃R1AO-“惟幽=；BOI4CO；=；ttR2B0.匕1何体=%一（%楙皿+唳惟畋）=（乃氏3七告案为：虫业冗R2,3R326三

14、、解答题13 .如图,已知四棱锥的底面是正方形,且边长为4cm,侧棱长都相等,E为BC的中点,高为PO,且NoPE=30。,求该四棱锥的侧面积和表面积.【参考答案】32(cm2).48(cm2)OE【解析】如图，OE=2cm,NOPE=30；.在RtPOE中.PE=r=4.sin30PB=PCE为BC的中点,.PE1BC,Spc=BCPE=S(cm2)侧棱长都相等，.S侧=4SPBC=32(cm2),S全=32+16=48(cm2)14 .已知一圆锥的母线长为Wcm,底面圆半径为6cm.(1)求圆锥的高；(2)若圆锥内有一球,球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切,求球的表面积.【参考答案】(1)8(2)36【解析】(1)据题意知,圆锥的高=J1O?-6?=8(c7