对数平均不等式-教师.docx

《对数平均不等式-教师.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《对数平均不等式-教师.docx（8页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、对数平均不等式淀义:设a,b0,a丰b,则a%Ay其“广bina-nb被称为对数平均数,作f(x)在点又2边梯形AUTP7abJc=nab-aa2.几何解释：反比例函数f(X)=1(x-0)的图象，如图所示，API1BCI1TUI1KV,XMNIICD11X轴，A(a,O),P(|(a,1计B(b,),Q(b,j)T(aDfb1dx=1nbIna2ba,JaXa+bInbInaS2曲边梯形ABQPoo.b3根据右图可知，边梯形Autp梯形AUTP，所以InaIna画，另外,S矩形ABQXS曲边梯形ABQPS梯形ABQPS知形ABYP,可得1 I(I1)1_b-a1nb-1a-1-,b-a-b-

2、a，b2aba综上，结合重要不等式可知：-b-a2Inb-Ina1b-aab_-aba0一+一abb-a2/InbInaab等价变形Jna二吧22(a-b).之bo)a十。Ina-Inb共出-、Ra之b0)ba3.典例剖析对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题.对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的.b-a(一)b-：aaX)的应用InbIna例1(2014年)设函数f(X)=In(1+),g()=Xf/()其中f，(x)是f()的导函数.(1)(2)(略)(3)设n=N).比较g(1)+g(2)

3、+g(n)与nf(n)的大小，并加以证明.解析(3)因为g(X)=1+x所以g(1)+g0+g(n)=：+：+n,=-(V+/)|，d.on+I1O+1+g()n-f(n)的大小，即只(un-f()=nn(n+1),因此比较gG)+9(2)+需比较+-+-7,jn(n+1)的大小即可.23n+1根据ba时，bjr;，即In7Ina1b-aa,即nb+Ipa-ba,令abn1,InDInaa,m,11d4111则Inn1InnI肘7.InnV1-4-1-d/3n(二)bFE-hba0的应用例2设数列q的通项3=/耳福丹均加项的和为S。，证明：In()解析a0w.wnbnat今b_D11aQ243

4、n-.1In=y2+n122n22n1ja,易证Sa0的应用2b-aInb-Inaab例3.设数列加的通项a=1+不+彳+,十二，证明：aaOabba解析根据b时而正飞，-加Jn2n+1_|n2nr；,易叫1n（2n+1）b-a（四）InbIna1ba+b的应用例4.（2010年）已知函数fXWXbHhCaIOX的图象在点1,1处的切线方程为所以,n2-1白区叱黑+9InInn111111即Inn+1Inn-1+23n21co的应用1例5.(2014预赛)已知仅)=2仙仅+1)+-T-Sx-1XI(1)(略)e-+湍三“(21)对一切正整数n均W3求证：碾碾加成立.；In2+1一1n2n-11

5、0)的最小值为().(i)(2)(略)(3)证明：X-n(2n+1)2(n=N),i=222解析(3)易求a=1,待证不等式等价于一夕+石+7+222n1,b_2n3则下z72n1-12n4根据ba时，b，2即大b-aIiIDaD1n-2n_J_In2n1,In21-In2n-1，将以上各不等式左右两边分别相加得:2n+1-1222221/-+-+-+n2+3572n-12+1Xn2-(2n+1)2三时,f()/、,求的最儡f1II11(2)设数列包，的通项a0=1+2-+3+；，证明：?n-an+1n2令1(X)=O,则X=QxJ2.入,若入时,f,()o,f()是增函数，f()f(o)=,

6、不符合题意；若共入2,则当共XQf(x)酬函数，f(x)f()二，不符合题意；若入2，则当X时，f,()-1.,即Inb-Ina一-ba(2)a叮，InbIna2abInn+2Inn1Inn3-In+21(JI1)2在+2厘+K3评注本题提供标准答案是借助于第一问的的最小小2入n(1x)0)2+2x加以赋值，并进行变形，令X=In2n-In2n-1-W1j+而将以上各不等式左右两边分别相加得:1nn11(122221)In2n_|nnIn2故n+1n+22n4n2nn1n232n12nn21一I1I.即而+市+vIrVkf+b12jt4-1111z111蹴TM+):2限丁M亦河+k)kInn+1+n1.23r121解析（Db31,c=1-2a:,Cb-a21/1（3）当ba0rbnb,na-F1,即InbIn.a-1,had+bb今an,bn1,则Inn1InI；*/nn1