小学三年级奥数第6课《找简单数列的规律》试题附答案.docx

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1、小学三年级上册数学奥数知识点讲解第6课找简单数列的规律试题附答案第六讲找简单数列的规律日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如：自然数：1,2,3,4,5,6,7,(1)年份：1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996(2)某年级各班的学生人数(按班级顺序一、二、三、四、五班排列)45,45,44,46,45(3)像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，第n个数就称为第n项.如数列(3)中，第1项是45,第2项也是45,第3项是44,第4项是46,第5项4

2、5。根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列(即有有穷多个项的数列)称为有穷数列，把项数无限的数列(即有无穷多个项的数列)称为无穷数列，上面的几个例子中，(2)(3)是有穷数列，(1)是无穷数列。研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性，以作为解决问题的依据,本讲将从简单数列出发，来找出数列的规律。例1观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.2,5,8,11,(),17,20。19,17,15,13,(),9,To1,3,9,27,(),243o64,32,16,8,(),2o1,1,2,3,5,8,(),21,34-1,3,4,7,11,18,(),471,3,

3、6,10,(),21,28,36,().1,2,6,24,120,O,5040。1,1,3,7,13,O,31。1,3,7,15,31,O,127,255。(11)1,4,9,16,25,O,49,64。(12)0,3,8,15,24,48,63。(13)1,2,2,4,3,8,4,16,5,().(14)2,1,4,3,6,9,8,27,10,().例2下面数列的每一项由3个数组成的数组表示，它们依次是：（1,3,5）,（2,6,10）,（3,9,15）问：第IOO个数组内3个数的和是多少？例3按下图分割三角形，即：把三角形等分为四个相同的小三角形（如图（b）；把中的小三角形（尖朝下的除外）

4、都等分为四个更小的三角形（如图（C）继续下去，将会得到一系列的图，依次把这些图中不重杳的三角形的个数记下来，成为一个数列：1,4,13,40请你继续按分割的步骤，以便得到数列的前5项.然后，仔细观察数列，从中找出规律，并依照规律得出数列的第10项，即第9项分割后所得的图中不重叠的小三角形的个数.(a)(b)(C)(d)例4在下面各题的五个数中，选出与其他四个数规律不同的数，并把它划掉,再从括号中选一个合适的数替换。42,20,18,48,24（21,54,45,10）15,75,60,45,27（50,70,30,9）42,126,168,63,882（27,210,33,25）答案第六讲找简

5、单数列的规律日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如：自然数：1,2,3,4,5,6,7,（1）年份：1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996（2）某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）45,45,44,46,45（3）像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，第n个数就称为第n项.如数列（3）中，第1项是45,第2项也是45,第3项是44,第4项是46,第5项45。根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称

6、为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列。研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性，以作为解决问题的依据，本讲将从简单数列出发，来找出数列的规律。例1观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.2,5,8,11,(),17,20。19,17,15,13,(),9,7。1,3,9,27,O，243o64,32,16,8,(),2o1,1,2,3,5,8,O,21,341,3,4,7,11,18,O，471,3,6,10,(),21,28,36,().1,2,6,24,120,(),5040。

7、1,1,3,7,13,O,31o1,3,7,15,31,(),127,255。(11)1,4,9,16,25,(),49,64。(12)0,3,8,15,24,(),48,63。(13)1,2,2,4,3,8,4,16,5,().(14)2,1,4,3,6,9,8,27,10,().分析与解答不难发现，从第2项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于3.因此，括号中应填的数是14,BP11+3=14o同考虑，可以看出，每相邻两项的差是一定值2.所以，括号中应填11,BP：132=1K不妨把与联系起来继续观察，容易看出：数列中，随项数的增大，每一项的数值也相应增大，即数列是递增的；数列中，随项数

8、的增大，每一项的值却依次减小，即数列是递减的.但是除了上述的不同点之外，这两个数列却有一个共同的性质：即相邻两项的差都是一个定值.我们把类似这样的数列，称为等差数列.1,3,9,27,(),243。此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：3=13,9=33,27=9X3.因此，括号中应填81,即81=273,代入后，243也符合规律，即243=81义3。64,32,16,8,(),2与类似，本题中，从第1项开始，每一项是其后面一项的2倍，即：第1项64=32X2第2项32=162第3项16二8义2第4项8-因此，括号中填4,代入后符合规律。综

9、合考虑，数列是递增的数列，数列是递减的数列，但它们却有一个共同的特点：每列数中，相邻两项的商都相等.像这样的数列，我们把它称为等比数列。1,1,2,3,5,8,(),21,34首先可以看出，这个数列既不是等差数列，也不是等比数列.现在我们不妨看看相邻项之间是否还有别的关系，可以发现，从第3项开始，每一项等于它前面两项的和.即2=1+1,3=2+1,5=2+3,8=3+5.因此,括号中应填的数是13,即13=5+8,21=8+13,34=13+21。这个以1,1分别为第1、第2项，以后各项都等于其前两项之和的无穷数列，就是数学上有名的斐波那契数列，它来源于一个有趣的问题：如果一对成熟的兔子一个月

10、能生一对小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个月也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理想的话，每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按一定的规律迅速增长，按顺序记录每个月中所有兔子的数目(以对为单位，一月记一次)，就得到了一个数列，这个数列就是数列的原型，因此，数列又称为兔子数列，这些在高年级递推方法中我们还要作详细介绍。1,3,4,7,11,18,(),47-在学习了数列的前提下，数列的规律就显而易见了，从第3项开始，每一项都等于其前两项的和.因此，括号中应填的是29,即29=11+18。数列不同于数列的原因是：数列的第2项为3,而数列为1,数列称为鲁卡斯数列。1,3,6,10,

11、(),21,28,36,()。方法1继续考察相邻项之间的关系，可以发现：第1项1:1第2项3=1+2=项数第3项6=3+3一项数第4项10=6+4一项数因此，可以猜想，这个数列的规律为：每一项等于它的项数与其前一项的和，那么,第5项为15,即15=10+5,最后一项即第9项为45,即45=36+9.代入验算，正确。方法2：其实，这一列数有如下的规律：第1项：1=1第2项：3=1+2第3项：6=1+2+3第4项：10=1+2+3+4第5项：()第6项：21=1+2+3+4+5+6第7项：28=1+2+3+4+5+6+7第8项；36=1+2+3+4+5+6+7+8第濒：()即这个数列的规律是：每一

12、项都等于从1开始，以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此，第五项为15,BP：15=1+2+3+4+5；第九项为45,即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。1,2,6,24,120,(),5040。方法1这个数列不同于上面的数列，相邻项相加减后，看不出任何规律.考虑到等比数列，我们不妨研究相邻项的商，显然：2+1=26+2=3r_也即I24+6=4120+24=5第1项:1第2项：2=1X2第3项：623第4项：24=4第5项：120=245所以，这个数列的规律是：除第1项以外的每一项都等于其项数与其前一项的乘积.因此，括号中的数为第6项720,即720=1206o方法2：受的影响

13、，可以考虑连续自然数，显然:第1项1=1第2项2=12第3项6=123第4项24=1234第5项120=12345第6项()第7项5040=1234567所以，第6项应为123456=7201,1,3,7,13,(),31与类似：第1项、第2项1=1+2X(2-2)第3项3=1+2(32)I第4项电2(62)项数第5项1注+2(5-2)可以猜想，数列的规律是该项二前项+2X（项数-2）（第1项除外），那么，括号中应填21,代入验证，符合规律。1,3,7,15,31,（）,127,255。为了书写的方便引进一符号，记：22.2=2%其中n为自然数,n个2相奉1=1第1项:第2项:第3项:第4项:

14、第5项:第6项:第7项:第8项:则:项数T3=1+217=1+21+2215=1+21+22+2331=1+21+22+23+24C)127=1+21+22+23+24+25+26255=1+21+22+23+24+25+26+27因此，括号中的数应填为63。小结：寻找数列的规律，通常从两个方面来考虑：寻找各项与项数间的关系；考虑相邻项之间的关系.然后，再归纳总结出一般的规律。事实上，数列或数列的两种方法，就是分别从以上两个不同的角度来考虑问题的.但有时候，从两个角度的综合考虑会更有利于问题的解决.因此，仔细观察，认真思考，选择适当的方法，会使我们的学习更上一层楼。在题中，1二2-13=2-17=2:-115=24-131=25-1127=27-1255=2-1255=28-1所以，括号中为251即63。(11)1,4,9,16,25,(),49,64.1=11,4=22,9=33,16=44,25=5X5,49=77,64=88,即每项都等于自身项数与项数的乘积，所以括号中的数是36。本题各项只与项数有关，如果从相邻项关系来考虑问题，势必要走弯路。(12)0,3,8,15,24,(),48,63。仔细观察，发现数列(12)的每一项加上1正好等于数列(11),因此，本数列的规律是项二项数X项数-1所以，括号中填35,即35=6X6-