小学五年级奥数第12课《染色中的抽屉原理》试题附答案.docx

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1、小学五年级上册数学奥数知识点讲解第12课染色中的抽屉原理试题附答案笫十三讲染色中的抽屉原理根据抽屉原理可以解决许多有趣的问题，关键在于根据不同的问题制造抽屉.如研究整除问题时常用剩余类当作抽屉，研究长度和面积时用图形制造抽屉等等.在这一讲中将研究如何用颜色当作抽屉来解决一些问题。例1平面上有A、B、C、D、E、F六个点，其中没有三点共线，每两点之间任意选用红线或蓝线连接，求证：不管怎样连接，至少存在一个三边同色的三角形。例2从同一个小学毕业的同学之间的关系可以分为三个等级：关系密切、一般关系、毫无关系.请你证明在这个学校的17名校友中.至少有三个人，他们之间的关系是同一个等级的。例3用黑、白两

2、种颜色把一个2X5（即2行5列）的长方形中的每个小方格都随意染一种颜色.证明：必有两列，它们的涂色方式完全相同。白白黑黑百至百熏例4如果有一个3Xn的方格阵列，每一列的三个方格都任意用红、黄、蓝、绿四色之三染成三种不同颜色，问连少是多少时，才能保证至少有3列的染色方式完全相同。例5对一块3行7列的长方形阵列中的小方格的每一格任意染成黑色或白色，求证：在这个长方形中，一定有一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格同色。例6用黑、白两种颜色将一个5X5的长方形中的小方格随意染色.求证：在这个长方形中一定有一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格同色。答案第十三讲染色中的抽JB原理根据抽

3、屉原理可以解决许多有趣的问题，关键在于根据不同的问题制造抽屉.如研究整除问题时常用剩余类当作抽屉，研究长度和面积时用图形制造抽屉等等.在这一讲中将研究如何用颜色当作抽屉来解决一些问题。例1平面上有A、B、C、D、E、F六个点，其中没有三点共线，每两点之间任意选用红线或蓝线连接，求证：不管怎样连接，至少存在一个三边同色的三角形。分析与解答连彩线的方式很多，如果一一画图验证结论，显然是不可取的.这个问题如果利用抽屉原理去解决，就不是难事了。我们用虚线表示红色，用实线表示蓝色.从任意一点比如点A出发，要向B.C、D、E、F连5条线段,因为只有两种颜色，所以根据抽屉原理，至少有3条线段同色.不妨设AB

4、、AD.AE三线同红色（如右图）.如果氏D、DEE这三点之间所连的三条线段中有一条是红色的，则出现一个三边为红色的三角形.如果这三点之间所连线段都不是红色，那么就都是蓝色的.这样，三角形BDE就是一个蓝色的三角形.因此，不管如何连彩线，总可以找到一个三边同色的三角形。如果我们把上面例题中的点换成人，把红蓝两种颜色连线换成人与人之间的关系，又可以解决某些实际问题.如：证明在任意的6个人之间，或者有3个人互相认识，或者有3人互相都不认识。我们只需把互相认识的两人用红线连接，互相不认识用蓝线连接，那么所要证明的结论就变成证明存在一个红色或蓝色的三角形了。例2从同一个小学毕业的同学之间的关系可以分为三

5、个等级：关系密切、一般关系、毫无关系.请你证明在这个学校的17名校友中.至少有三个人，他们之间的关系是同一个等级的。分析与解答把17人看成平面上17个点；用红、蓝、白三种颜色的连线表示同学之间三种不同等级关系.那么这个实际问题就转化为：证明用红、蓝、白三种颜色的线段连接平面上的17个点（没有三点共线），一定存在一个同色的三角形。因为一个点要与其他16个点连线，只有三种颜色，所以根据抽屉原理，从一点至少引出6条同色的线段.不妨设点A与B、C、D、E、F、G六点是用白色线段连接的.如果B、UD、E、F、G这六点之间有一条白线连线，那么就会出现一个三边为白色的三角形.否则，这六个点只能用红、蓝两种颜

6、色连接了.根据例1的证明可得，这六个点之间必有一个红色边或蓝色边的三角形存在。从例2的证明看出，它的论证方法与例1是相似的，只不过比例1多用了一次抽屉原理。例3用黑、白两种颜色把一个2X5（即2行5列）的长方形中的每个小方格都随意染一种颜色证明：必有两列，它们的涂色方式完全相同。白白黑黑白里白里k4八、八、分析与解答因为每列只有两格，而这两格的染法只有（右图）四种，将这4种染色方式当作4个抽屉，题中所有的方格共有5列，根据抽屉原理，至少有两列的染色方式完全相同。例4如果有一个3Xn的方格阵列，每一列的三个方格都任意用红、黄、蓝、绿四色之三染成三种不同颜色，问n至少是多少时，才能保证至少有矽IJ

7、的染色方式完全相同。分析与解答每一列都从4种颜色中选出三种分别染上这列中的三个小格，染色的方式共有4X3X2=24（种）.若要保证至少有3列的染色方式完全相同，那么n至少是24X2+1=49。下面研究另一类长方形阵列小格的染色的问题。例5对一块3行7列的长方形阵列中的小方格的每一格任意染成黑色或白色，求证：在这个长方形中，一定有一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格同色。证法1每一列的三个格用黑、白两种颜色染色.所有可能的染法只有如下图中的八种白Ep八、Rp1，、八、白EP八、黑白GP八、白r、八、白白白EP,、八、，、(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)白白黑白白白如果在

8、所染色的3行7列阵列中某一列是第Q）种方式，即三格均为白色，则其余6列中只要再有第（1）（2）（3）（4）种方式之一（即该列中至少有两个白格），那么显然存在一个四角格都是白色的长方形.若第Q）、（2）、（3）、（4）种方式均未出现,那么其余6列就只能是（5）、（6）、（8）这四种方式，根据抽屉原理，其中至少有两列染色方式完全一样.又（5）（8）中每一列至少有两格染黑色，所以一定存在一个长方形，它的四角格颜色都是黑色。同理可知，如果有一列是第（8）种方式，即三格均为黑色，那么也存在四角同色的长方形。如果在7列中（1）、（8）两种方式都未出现，则只有（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）这

9、六种方式染这7列，根据抽屉原理，至少有两列染色方式完全一样，所以仍然存在四角同色的长方形。证法2：第一行有7个小方格，用黑白两种颜色去染，根据抽屉原理，至少有四个方格所染颜色相同，不妨设第一行有4个黑方格.再看第二行，如果在第一行的四个黑方格下面的四格中有两格是黑色，则结论显然成立.否则第二行这四个格中至少有3个白色方格。再看第三行.根据抽屉原理，在第三行的位于第二行的3个白格下面的3个格中必至少有两格同色.如果有两格为白色，则与第二行构成四角白色的长方形；如果没有两格白色，那么必有两格为黑色，则与第一行构成四角黑色的长方形。例6用黑、白两种颜色将一个5X5的长方形中的小方格随意染色.求证：在

10、这个长方形中一定有一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格同色。分析与解答笫一行中的5个小方格用黑、白两种颜色去染，根据抽屉原理，至少有3个小方格同色.不妨设第一行的前3个为白格.现在考虑位于这3个白格下面的那个3义4的长方形（如右图），用黑、白两种颜色去染这个3X4的长方形，有以下两种情况：白白白若在某一行的3个方格中出现两个白格，则它们与上方第一行相应的两个白格可组成四角同为白色的长方形。若在43的长方形的任意一行的3个小方格中都不含两个白格，也就是每一行的3个小方格所涂的颜色只有一白二黑或三黑，则只有下面（1）、（2）、（3）、（4）共4种可能.如果（4）出现在某一行中，那么不管其

11、他三行为Q）、（2）、（3）、（4）中的哪种情况，必有一个四角为黑色小方格的长方形.如果（4）未出现，则在这四行中只能出现Q）、（2）、（3）这3种情况，由抽屉原理可知，必有两行染色方式完全相同，显然这两行中的4个黑色小方格可构成四角同黑的长方形.白1八、八、r八、白GP八、1，、八、白1八、RP1八、八、习题十三1一天，颐和园知春亭中有6位游客.请证明：他们之中必有三名互相认识或者互相不认识。2 .用红、黑两种颜色将一个2X9的长方形中的小方格随意染色，每个小方格染一种颜色，证明：至少有矽IJ小方格中染的颜色完全相同。3 .用红、白、黑三种颜色给一个3Xn的长方形中的每一个小方格随意染上一种

12、颜色.n至少为多少时，才能保证至少有两列染色方式完全一样？五年级奥数上册：第十三讲染色中的抽屉原理习题解答习题十三解答1.把六位游客看作平面上的六个点（任意三点不共线），互相认识的用红线连接，不认识的用蓝线连接，按例1的证法即可得出结论。2.2X9的长方形有9列，每列有两个小方格，用红、黑两色染色，共有4种不同的方式，看作4个抽屉，因为9=4X2+1,所以根据抽屉原理，至少有矽IJ染色方式相同。3.每一列有3个小方格，每个小方格都有红、白、黑三种染色方法，则各列染色的方式有3X3X3=27（种）.根据抽屉原理，至少有28列才能保证至少有两列染色方式完全一样，因此n的最小值为28.附：奥数技巧分

13、享分享四个奥数小技巧。希望孩子早进步哦。技巧1：培养孩子数字感要想入门奥数，很大一部分程度上靠的就是孩子的数字感，那么我们应该如何培养孩子的数字感呢？最简单的方法，就是让孩子去超市购物，自己算账，把自己的日常开销交给孩子进行计算。不但可以练就孩子熟能生巧的技巧，还能让孩子早点持家，懂得金钱来之不易，好好学习的道理，一箭双雕！小学奥数中，很多题型都是有规律的计算题，希望家长能够注重孩子的计算能力的培养，从数字感的培养练就孩子基本的奥数素质能力哦。技巧2：培养孩子敏锐的观察能力奥数题目中有一类题目就是移动火柴或者根据己有图案进行图案相关的规律的填充,此类型的题目考核的就是学生的观察能力，所以我们希

14、望家长从小就开始培养孩子的观察能力。比如，给孩子的额外作业就是观察家里的变化，写日记，或者观察老师讲课的方式等等，这都是比较不错的培养孩子观察能力的方法。技巧3：培养孩子的快速记忆能力快速记忆能力的提升，利于孩子快速构建奥数题型，快速记忆题目中给出的信息，从而快速解题，孩子快速记忆力的提升，可以从语文古诗下手。要求孩子在10分钟内熟记并默写一篇古诗，渐渐按照这个标准去要求他干其他的事情，久而久之孩子就能够养成快速记忆的习惯，对其后续学习奥数会有很大的希助的！技巧4：注重孩子发散思维的培养奥数的学习过程中，很多时候需要孩子的发散思维，但是孩子在学数学时，养成了定向思维，遇到问题就将格局定性为固定

15、方式，因此遇到稀奇古怪，考点比较灵活的题型，孩子就无从下手了，所以我们建议家长们多多培养孩子的发散思维。培养孩子的发散思维可以从以下几点做起:如与孩子的交流中，可以说着孩子感兴趣的话题，突然扯到孩子不喜欢的东西上，慢慢孩子就有了思维的跳跃，有了思维的跳跃，孩子就能养成发散思维。还有一个比较好的培养孩子发散思维的方法,就是结合日常生活的实际例子带着孩子做一些脑筋急转弯的题目，如孩子喝水的时候，可以问孩子，我想第一口水喝到的就是瓶子最底下的水，怎么办？鼓动孩子自己去找解决方法。帮助孩子培养发散思维！奥数，很有意思的课程，希望大家能够带着孩子轻松入门和学习。同时，温馨提示家长们：孩子成长的童年只有一次，请务必去倾听自己的孩子内心深处的声音！