小学六年级奥数第8课《应用同余解题》试题附答案.docx

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1、小学六年级上册数学奥数知识点讲解第8课应用同余解题试题附答案第八讲应用同余解题在五年级我们已初步学习了同余的有关知识.同余在解答竞赛题中有着广泛的应用.在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和方法.例1赊以5余1,嘛以5余4,如果3ab,那么3a-bt以5余几？例2若a为自然数，证明10I（小湖a例9）.例3计算机录入员平均每分钟可以输入72个汉字，输入一篇有砺7个汉字的文章所用的分钟数恰好是整数，求五位数语.例4n=191919191919,求n被9除后所得商的个位数是几?1919个1919例5设2n+1是质数，证明：1，*/被2n+1除所得的余数各不相同.例6己知

2、：a=19191919-1919,1919个1919问：赊以13所得余数是几？例7求被3除余2,被5除余3,被7除余5的最小三位数.例8给出12个彼此不同的两位数，证明：由它们中一定可以选出两个数,它们的差是两个相同数字组成的两位数.例9试证不小于5的质数的平方与1的差必能被24整除.证明：二质数中仅有一个偶数2,例10任给七个不同的整数，证明其中必有两个数，其和或差是10的倍数.答案第八讲应用同余解题在五年级我们已初步学习了同余的有关知识.同余在解答竞赛题中有着广泛的应用.在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和方法.例IaB以5余1,除以5余4,如果3ab,那么3

3、a-嘛以5余几？分析与余数有关的问题考虑用同余式可以使解题简便.解：a1(mod5),3a3(mod5),或者3a8(mod5).(1)又Yb4(mod5),(2).CD-(2)得，3a-b8-44(mod5).因此，3a-b54.例2若a为自然数,证明10I(a-a).分析如果换一种方式表达，所要证明的即是要证小灯与小妗个位数字相同.用对于模10两数同余来解，可以使解题过程简化.证明：:ai5=axa-iwa(mod10),a1919=a4497-1a(mod10),a1965-a1545a-a0(mod10)BP1OI(a195-a).说明：这里用到一个事实：对于任何自然数a,a，与a的个

4、位数字相同.例3计算机录入员平均每分钟可以输入72个汉字，输入一篇有西为个汉字的文章所用的分钟数恰好是整数，求五位数而药.分析这道题实质是求一个能被72整除的五位数而西.W：V72=89,又72|砺7，由能被8、9整除的特征，得x67+9y=0(mod9)(1)i70090y0(mod8).(2)由(2)得y2(mod8)因0y9且层整数y=2.把y=2代入Q)得x+6+7+9+20(mod9).3(mod9).由X是一位整数得：X=3.，所求五位数是36792.例4n=19191919-1919,求n被9除后所得商的个位数是几？一1919个1919分析设n+9=商r,那么9I(n-r),根据

5、nr=商X9,以及nr的个位数字，可推算出商的个位数字.抓住“一个整数与它的各位数字之和对于模9同余”这性质，可以很快的化大数为小数.解：1n=1919191919191919X(1+9+1+9)191920221919个19194(mod9),A9I(n-4),即n7=9X商，又.n-4的个位数字是5,磁滁所得的商的个位数字是5.例5设2n+1是质数，证明：1一2一，水被2n+1除所得的余数各不相同.分析这道题肯定不可能通过各数被2n+1除去求余数.那么我们可以考虑从反面入手，假设存在两个相同的余数的话，就会发生矛盾.而中间的推导是步步有根据的，所以发生矛盾的原因是假设不合理.从而说明假设不

6、成立，因此原来的结论是正确的.证明：假设有两个数a、b,(ab,设ba,且1an,1b19即1919个“1919”有3838个“19”,三组三组取走“19”后还剩下一组.a19(mod13).a6(mod13).即滁以13余数是6.例7求被3除余2,被5除余3,被滁余5的最小三位数.解：设X为所求数，由题意x2(mod3),(1)x3(mod5),(2)x5(mod7),(3)(3)即x=7k+5(k整数)代入(2)得7k53(mod5),2k3(mod5),2k8(mod5).k4(mod5),即k=5m+4(m是整数).x=7k+5=7(5m+4)+5=35m+33,上式代入(1)得：35

7、m332(mod3),m1(mod3),即m=3t+1(t整数).=35m+33=35(3t+1)+33=105t+68,当t=1时，X=173.，所求的最小三位数为173.例8给出12个彼此不同的两位数，证明：由它们中一定可以选出两个数，它们的差是两个相同数字组成的两位数.分析证这道题要考虑到以下三点.两位数的数码相同时，它一定能被11整除.遇到数是任意的，需排个序，这样讨论表述起来比较方便.用12个数中最大的数依次地分别减去其余11个数可得到11个差.若差中有相同数码组成的两位数，问题得证；若差中没有合条件的两位数，这时这11个(差)数各自除以11,所得余数只可能在U,2,3,10中，必有

8、两个差数的余数相同，考虑用余数造抽屉解题.证明：设12个两位数从小到大排列为：10a1a2-a11a1299,用a12分别减去其余的数，得差：b1=a12-a1,b2=a12-a2,，b11=a12-a11.若上面11个差中有某个差b1能被11整除，即11I(a12-a),那么已证出数a12与揖的差bi是两个相同数码组成的两位数.若这11个差均不能被11整除，则按不能被11整除的余数造10个抽屉，余数相同者归入同一抽屉，根据抽屉原理，11个差数中，一定存在两数bm、bn对于模11同余，即：bm-bn0(mod11),即(a12-am)(a12-an)0(mod11)，即anamm。(mod11

9、)，即11I(an-am),即差an-am是一个由相同数码组成的两位数.综合(1)、(2)问题得证.说明：这道题的证明用到了将数按被11除的余数分类的思想.一般地，任何一个整数a被自然数赊，余数只可能是0,1,2,，n-1这n种情况，这样我们可以利用余数将整数分为几类，如：整数按除以2余1还是0,分为奇数和偶数.又如，整数除以3,余数只能是0,1,2这三种情况，我们可以把所有整数按除以3后的余数分三类，即3k,3k+1,3k+2,(k整数).这种利用余数分类思想，是重要的数学思想方法，它可以使研究问题时搜索的范围大大缩小.例9试证不小于5的质数的平方与1的差必能被24整除.证明：:质数中仅有一

10、个偶数2,不小于5的质数是奇数.又不小于5的自然数按除以6所得的余数可分为磅：6n,6n+1,6n+2,6n+3,6n+4,6n+5,(n是自然数)，其中6n,6n+2,6n+4都是偶数，又36n+3.，不小于5的质数只可能是6n+1,6n+5.又自然数除以6余数是5的这类数换一记法是：6n-1,，(不小于5的质数)2-1=(6n1)2-1=36n:12n=12n(3n1),这里n与(3n1)奇偶性不同，其中定有一个偶数，/.2In(3n1),24I12n(3n1).结论成立.说明：按同余类造抽屉是解竞赛题的常用方法.例10任给七个不同的整数，证明其中必有两个数，其和或差是10的倍数.分析首先

11、考虑什么样的两个整数的和或差可以被10整除.设两个整数a、b,若a=b(mod10),贝IJ1o(a-b)；若ar(mod10),而b10-r(mod10),则10|(a+b),只有这两种情况.但是如果按整数除以10的余数造抽屉，就有十个抽屉，对于已知条件中给定的七个数无法应用抽屉原理，所以要考虑如何造六个抽屉.根据首先考虑的两个整数被1瞧的两种情况，可以把余数之和等于10的并成一类，这样分为：IOk10khIOk2.IOk3.IOk4.Iok5六类，恰好构造六个抽屉，再应用抽屉原理可解此题.证明：根据整数nr(mOd1O)构造六个抽屉如下:r=0的数；r=5的数；r=1或9的数；r=2或8的

12、数；r=3或7的数；r=4或6的数.这样任给定的七个整数按照除以10的余数r,放入六个抽屉中，必有一个抽屉中至少有两个数.这两数的和或差必是10的倍数.六年级奥数上册：第八讲应用同余解题习题习题八1 .甲、乙两校联合组织学生乘车去春游，每辆车可噂36人，两校各自坐满若干辆车后，甲校余下的13人与乙校余下的人恰好又坐满一辆车.春游中甲校的每位同学分别与乙校的每位同学合一张影留念.如果每卷胶卷可拍36张照片，问：拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可以拍几张？（提示：这题相当于：甲数除以36余13,乙数除以36余23,若甲、乙之积除以36的余数为r,求36-r=?）.2 .求1993：%-7的余数.

13、3 .求证：3o+40（mod5）.4 .能被33整除的六位数由E有多少个？5 .求满足除以5余2,除以7余4,除以11余3的最小三位数.6 .70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是：0,1,3,8,21,问最右边的一个数被躲的余数是几？（提示：计算数列的各项除以6的余数，找规律）7.任意选出6个不同的自然数，证明其中总有两个数，它们的差是5的倍数.习题八解答1. 25张.2 .解：:19935(mod7)；/.199315i5ss4(mod7).由上表可知5-7的余数以6为周期循环，.19942(mod6),.,.1993w5iw5i4(mod7),即1993、除以7的余数是4.3 .证明：/34(mod5),3i1(mod5),4i1(mod5)而2000=4X500,1993=4498+1,A3=(3)-1-1(mod5),4伸=(*)4w4P*44(mod5),.3204551140(mod5).4 .三个：196911,199914,192918.