已知12x^2y^2+20y^4=17,求x^2+13y^2的最小值.docx

《已知12x^2y^2+20y^4=17,求x^2+13y^2的最小值.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《已知12x^2y^2+20y^4=17,求x^2+13y^2的最小值.docx（5页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、已知122y2+20y4=17,求x%13y2的最小值。主要内容：介绍用二次方程判别式法、不等式公式法、三角换元法和多元函数极值法等方法，介绍2+13y2在已知122y2+20n7条件下的最小值主要思路和步骤。方法一：判别式法将题目结论通过条件变形得到能使用二次方程判别式形式,进而求解所求代数式的最小值。设2*3y2=t,则2=t73y2,代入已知条件得：12(t-13y2)y2+20y4=17,化简得到：136y4-12ty2+17=0,看成的二次方程，由判别式得：(12t)2-4171360,12t217M36,t-17-136,则本题所求的最小值为*隹。方法二：基本不等式法通过变形利用两

2、个正数的基本不等式求解最小值。此时用到的基本不等式为：对于正数a,b,有a+b22.V12x2y2+20y4=17,(12x2+20y2)y2=17,Fp12x2+20y2=p-,进一步得:x2毛(-20y%代入所求代数式得：x2+13y2=j(-20y2)+13y2,115(177+136y,再利用基本不等式，得：AIA-72117136二了即等号值为所求最小值。方法三：均值不等式法通过变形利用两个正数的均值不等式求解最小值。此时用a+b到的基本不等式为：对于正数a,b,有abW1y)20实质上是基本不等式的逆应用。V12x2y2+20y4=17,(122+20y2)y2=17,对括号内x?

3、的系数进一步变形得：534124(x2+-y2)y2=17,两边同时乘以W得:5343412(x2%2).彳丫2=17中，即：5341734(x2+-y2)y2=,利用均值不等式得：25234252.34)2(Xy)-y(5)(-5)，00NZ.即：y(吗直)2,变形不等式得：/22、2、17341(x13y)4,贝hI/0x2+13y22y-=-y2,即等号值为所求最小值。方法四：三角换元法利用正弦、余弦换元X,y,根据三角函数的有界性及不等式公式等求代数式的最小值。设122y2=17si2t,20y4=17cos2t,且t(0,则y2-y-cost,代入正弦函数条件中得:gcost=17s

4、in,即：Xj塔.黑,将XV代入到所求的代数式得:x2+13y2340sin2t/17=+13*A/*cost12cost203401-cos2t17=+13*o*cost12cost/20_J34O(1+CoSt),再利用基本不等式得:12cost510.2/_1.34.cost-12Ncost5cost，=/340-取等号值为所求最小值。方法五：导数法设所求最小值为to,则X2+13y2=to,可求出函数y对X的导数,此时的导数并与已知条件中y对X的导数相等，即可求得最小值。由x2+13y2=t0,两边对X求导得:dyCdyX2x26y-=0,Fp:厂一k；dxdx13y对已知条件方程两边

5、同时求X导数得:此时察一*,两处导数相等得:一ZM二一访化简该方程得：2=yy2（1）:将方程（1）代入已知条件得：2912,y2,y2+20y4=17,即进一步得（2）.OO由（1）（2）代入所有代数式，得:x2+13y2的最小值方法六：多元函数极值法设F(x,y)=x413/一入(12*2/+20/17),分另U求F对x,y,人的偏导数。F2HF23=2-24入xy；-=26y-24入yx-80入y；OXyF224-=12x2y2+20y4-17.OA人HFHFVm令F-二F-=X=0，贝U:Xy卜x=12入xy2;13y二入(12y2-40y3)；X12x2面二40y4；2x2y，后续步骤同方法五的部分步骤，即可得所求代数式的最小值为？隹。