弹性力学试题参考答案.docx

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1、弹性力学试题参考答案（答题时间：IOO分钟）一、填空题（每小题4分）1 .最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程,应力边界条件。2 .一组可能的应力分量应满足：平衡微分方程,相容方程（变形协调条件）。3 .等截面直杆扭转问题中，20。岫y=M的物理意义是杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M.4 .平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数夕在边界上值的物理意义为边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩。5 .弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：.+Xj=0,二、简述题（每小题6分）1 .试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。圣维南原理：如果物体的

2、一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。2 .图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数。的分离变量形式。(x,y)=ax2+bxy+cy2(ry)=r2f()题二(2)图(x,V)=ax3+bx2y+cxy2+dy3(b)C(r,)=rj)3 .图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P,板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E、泊松比已知。试求薄板面积的改变量5题二(

3、3)图设当各边界受均布压力夕时，两力作用点的相对位移为A/。由e=J(1必得,/=Ja2+b2=Wa+也(1-)E设板在力P作用下的面积改变为s,由功的互等定理有：qAS=PM将A/代入得：AS=-Pya2+b2E显然，S与板的形状无关，仅与E、/有关。4 .图示曲杆，在r=6边界上作用有均布拉应力g,在自由端作用有水平集中力尸。试写出其边界条件(除固定端外)。题二(4)图br1=d力匚=。；(2) %e=0,7ME=O(3) zdr=-Pcos，公=PsinO0rdr-PeoSe5.试简述拉甫(1OVe)位移函数法、伽辽金(Ga1erkin)位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各

4、自的适用性1ove、GaIerkin位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：(1)变求多个位移函数(x,y),W%y),u+B+M=O得Br+M=0(2)2联立式、(2)求得：B=A=Pd2代入应力分量式，得_2Pdsin26八_2Pdsi2r=-；/一；r=orr结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。2 .图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力b由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出Jy,by,并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。（12分）题三（2）图解：（1）求横截面上正应力,任意截面的弯矩为M=-/,截面惯性矩为

5、/=与，由材料力学计算公式有其中，X=0,y=0将式（1）代入式（2）,有积分上式，得利用边界条件：rry黑*2+工=0即AW=-A将式(4)代入式(3),有(4)积分得b=一庠X弓一:Hy)+人)利用边界条件：b,T=-如，b,=o得：悟以-知*)+,)=牛由第二式，得23=-杂将其代入第一式，得-知-知=-争自然成立。将力(X)代入by的表达式，有所求应力分量的结果:校核梁端部的边界条件：(1)梁左端的边界(X=O):hhE%1=dy=O,1%1o办=O代入后可见：自然满足。22(2)梁右端的边界(x=1)iGb1dy=E-第y|dy=2-1xydy=-y2dy=-ry=蚱=MJVJJg1

6、h33加J46可见，所有边界条件均满足。检验应力分量by是否满足应力相容方程：常体力下的应力相容方程为V2(xy)=(+)(xy)=0将应力分量Crr,by式(6)代入应力相容方程，有品（叫）=-1%）2-1hyJy2x、Ih-7力+%）=（系+黑4+=-嗡Xy=0显然，应力分量,Jy,by不满足应力相容方程，因而式(6)并不是该该问题的正确解。3 .一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为/,抗弯刚度以为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为鼠梁受有均匀分布载荷q作用，如图所示。试：(1)构造两种形式(多项式、三角函数)的梁挠度试函数以尤)；(2)用最小势能原理或RitZ法求其多项式形式的挠度近似解(

7、取1项待定系数)。(13分)题二(3)图解：两种形式的梁挠度试函数可取为vv(x)=X2(A1+2x+A3X2+)多项式函数形式vv(x)=4(1-CoS普公)三角函数形式m=1I此时有：mx)=X2(AiA2x+A3X2+)=0v(%)=2x(Ai+A2X+A3X2)+x2(2+A3X+)=0Mx)=汽4(1-CoS)=0m=11X=O即满足梁的端部边界条件。梁的总势能为=e1dx-jq有4EA+i114-3=0八一qj13(4石+2厂)代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为W(X)=-T-X13(4E+M)4 .已知受力物体内某一点的应力分量为：bv=0，v=2MPa,4=IMPa,xy

8、=IMPa,yz=0,2x-2MPa,试求经过该点的平面x+3y+z=1上的正应力。(12分)解：由平面方程x+3y+z=1,得其法线方向单位矢量的方向余弦为,113311I-I=i，m.=/=In=.12+3212Vh12+32+121112+32+12/2彳,m=671293-=2.64MPa1111学号:姓名:工程领域：速筑与土木工程弹性力学课程考试试卷题号总分得分考试时间：120分钟考试方式：开卷任课教师：杨静日期：20XX年4月28日一、简述题（40分）1 .试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特征，并指出两类平面问题中弹性常数间的转换关系。2 .弹性力学问题按应力和位

9、移求解，分别应满足什么方程？3 .写出直角坐标下弹性力学平面问题的基本方程和边界条件？4 .写出弹性力学按应力求解空间问题的相容方程。5 .求解弹性力学问题时，为什么需要利用圣维南原理？6 .试叙述位移变分方程和最小势能原理，并指出他们与弹性力学基本方程的等价性？7 .试判断下列应变场是否为可能的应变场？（需写出判断过程）x=C(x2+j2),y=Cy2,xy=ICxy.8 .试写出应力边界条件：（1）（。）图用极坐标形式写出；（2） （Z?）图用直角坐标形式写出。图（。）图二、计算题（15分）已知受力物体中某点的应力分量为：x=O,y=2afz=atxy=a,y.=O,zx=2a0试求作用在

10、过此点的平面x+3y+Z=I上的沿坐标轴方向的应力分量，以及该平面上的正应力和切应力。三、计算题（15分）取应力函数9=Axy3+Bxy)图示矩形截面悬臂梁，长为/,高为。，在左端面受力P作用。不计体力，试求梁的应力分量。（试图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P,设间距d很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（试取应力函数0=Asin2。+80)五、计算题（15分）如图所示的悬臂梁，其跨度为/。抗方刚度为在自由端受集中力P作用。试用最小势能原理求最大挠度。（设梁的挠度曲线卬=A（I-cos经）弹性力学试题（答题时间：120分钟）班级姓名

11、学号题号一二三总分(1)(2)(3)(4)得分一、填空魔（每小题4分）1 .用最小势能原理求解时所假设的位移试函数应满足：02 .弹性多连体问题的应力分量应满足,。3 .拉甫（1oVe）位移函数法适用空间问题；伽辽金（GaIerkin）位移函数法适用于空间问题。4,圣维南原理的基本要点有,o5 .有限差分法的基本思想为：,o二、简述IS（每小题5分）1 .试比较两类平面问题的特点，并给出由平面应力到平面应变问题的转换关系。2 .试就下列公式说明下列问题：（1）单连体问题的应力分量与材料的弹性常数无关；（2）多连体弹性力学问题中应力分量与弹性常数无关的条件。v+y=2d（z）+e：（z）=4Re

12、d（z）9(z)=一%(z)=一爰2&Tk=-x+2ixy=2归夕;（z）+M（Z）+i%)1n(zD+e.(z)一i%)1n(z-zQ+%*(z)4 式中：9（z）,%（z）均为解析函数；.（z）,%*（z）均为单值解析函数。5 .图示弹性薄板，作用一对拉力P。试由功的互等定理证明：薄板的面积改变量5与板的形状无关,仅与材料的弹性模量及泊松比、两力尸作用点间的距离/有关。题二（4）图6 .下面给出平面问题（单连通域）的一组应变分量，试判断它们是否可能。J=C（x2+y2y=Cy2,xy=fICxy。7 .等截面直杆扭转问题的应力函数解法中，应力函数。*,y）应满足：72=-2GK式中：G为剪切弹性模量；K为杆件单位长度扭转角。试说明该方程的物理意义。三、计算IS1 .图示无限大薄板，在夹角为90的凹口边界上作用有均匀分布剪应力q。己知其应力函数为:=r2（Ac