高等代数知识点归纳总结.docx

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1、|a|, i = j,o, ij.ai Ajl + ai2 A/2 + ain A加a2n-（n-l）（T尸 4的 %范德蒙德行列式:=n（%-Xjjin代数余子式和余子式的关系：Af,=(-1)4-分块对角阵相乘：A =分块矩阵的转置矩阵:B、A21 .A2 4A,2丁 c、H D,4为|川中各个元素的代数余子式.42.Ann ）AX = AA = AEf |A*|=|4-, * =|A.分块对角阵的伴随矩阵:BXAB*矩阵转置的性质：(A) = A(AB)t = EFTW)* =(aT矩阵可逆的性质：尸二AA-1=IT(A-l)k =(Aky =A-k伴随矩阵的性质：(A*)*=K2A(A

2、B)* = B*A*A*(川)*=(4*尸=俞W)* =(r(A*) = n 若r(A) = 1 若 r(A) =-10 若r(A)-1AB =ABAk=aAA*=A*A = |A (无条件恒成立)(A/x-1(X-i/D-i、qa的1矩阵的秩的性质： A w O r(A) 21; A = O = r(A) = 0 ; 0 r(Awx/J) r(AB)minr(A),r(B)1 r(A) + r(B)Ar = o只有零解r( AB) = r(B)=A在矩阵乘法中有左消去律 AB=B = AB = AC n B = Ci ir(AB) = r(5)3在矩阵乘法中有右消去律(f n若A) = nA

3、与唯一的等价，称1。o) r(A fi) r(A) + r(B), max(r(A),r(B) W八(A 0、(0 A)(A尸=r(/4) + r(B), r(O B)B O)(0(e 0、二八为矩阵4的等价标准型.1。o)r(A,B)r(A) + r(B)r(A) + r(B)标准正交基| 个维线性无关的向量，两两正交，每个向量长度为L。与夕正交| （。,尸）=0. 记为：aLp向量二=（4，2,，%）7的长度|同=J（a,a）=工=6；+； + . + ： /=16是单位向量I同=板方=1即长度为1的向量.内积的性质：正定性对称性线性性同=444Z4 =tM，trA称为矩阵A的网1特征值与

4、特征向量的求法（1）写出矩阵A的特征方程|4-4国=0,求出特征值4.（2）依据（A-4石）x = 0得到A对应于特征值的特征向量.设（A 4E）x = 0的基础解系为 ，自，其中彳= A 4E）.则A对应于特征值4的全部特征向量为啮+心$ +儿-若，其中勺,网 ,，心为任意不全为零的数.3.A与8相P-XAP=B（P为可逆矩阵）A与8正交相1PAP = B （P为正交矩阵）A可以相像对角化 A与对角阵A相像.（称A是A的相像标准形）7.矩阵对角化的判定方法w阶矩阵A可对角化（即相像于对角阵）的充分必要条件是A有个线性无关的特征向量.这时，P为A的特征向量拼成的矩阵，一四为对角阵,主对角线上的

5、元素为A的特征值.设必为对应于4的线性无关的特征向量,则有：4PAP= .1 aJA可相像对角化=-/（4-4）=（，其中左为4的重数o A恰有个线性无关的特征向量.：当4=0为A的重的特征值时，A可相像对角化4的重数= r（A）= Ar =。基础解系的个数.若阶矩阵4有个互异的特征值=A可相像对角化.正交矩阵 AAr = E正交阵的行列式等于1或-1；两个正交阵之积仍是正交阵：A的行（列）向量都是单位正交向量组.求正交矩阵T,把实对称矩阵/化为对角阵的方法：1 .解特征方程丸七| = 0,求出对称阵a的全部不同的特征值4,4、,42 .对每个特征值4,求出对应的特征向量，即求齐次线性方程组（

6、/ 4上口=o的基础解系。3 .将属于每个4的特征向量先正交化，再单位化。这样共可得到个两两正交的单位特征向量4,以1，%，力为列向量构成正交矩阵T 二（小,小,）有 T = A施密特正交法律规范化%,%,%线性无关,B二%正交化=。2（%,4）（凡（四，）（出不）夕3 = % 单位化:勿-4小一同=xT Ax1. |二次型| /（442,，Z）=ZZ=（，Z）Z=l J=1其中A为对称矩阵，% =(5,，玉)7A与B合同 CT AC = B. (A 5为实对称矩阵,C为可逆矩阵)求C (A I)-(B CT)这个变换先进行行变换再进行全都的列变换最终求得C和CT正惯性指数 二次型的法律规范形

7、中正项项数负惯性指数二次型的法律规范形中负项项数-两个矩阵合同O它们有相同的正负惯性指数O他们的秩与正惯性指数分别相等.两个矩阵合同的充分条件是：A与8等价两个矩阵合同的必要条件是：r(A) = r(B)/正交变换2. /(5,乙)二%,加经过(合同变换 x = Cy化为/= 4y2蓬彩可逆线性变换1正交变换法用正交变换化二次型为标准形(规范形)的具体步骤1 .将二次型表成矩阵形式/ = ,求出A;2 .求出4的所有特征值为4,，儿:3 .求出对应;特征值的特征向量另,，灯;4 .将特征向展配基心正交化，单位化，得，记?=(1，2,，)；5 .作正交变换x = Pv,则得/的标准形f- AK

8、+4谭配方法(1)若二次型含有七的平方项，则先把含有七的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行,直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形；(2)若二次型中不含有平方项，但是% wo (zVj),则先作可逆线性变换Xi = k 一, Xj = y+ 匕(火= 1,2,，且A , j),及二%3. |正定二次到 王，工2,，X ”不全为零，/(不工2,，Z)0正定矩阵|正定二次型对应的矩阵.4. /(1)=/为正定二次型0 (之一成立)：(1) X/xwo , xrAr0 ；(2) A的特征值全大于0；(3) /的正惯性指数为九；(4) A的全部挨次主子式全大于0；(5) A与合同，即存在可逆矩阵。使得CAC = ；(6)存在可逆矩阵尸，使得4 =尸7/；A可逆r(A) = nA的列(行)向量线性无关A的特征值全不为0Ax = o只有零解=Vxwo, Axo圄7/?4,4二夕总有唯一解是正定矩阵AEA= |2P，P,是初等阵存在阶矩阵民使得A3 = E或= EA不可逆r(A) n|A| = 0那列(行)向量线性相关0是加勺特征值Ar =。有非零解,其基础解系即为A关于丸=0的特征向量