概率论基本公式归纳.docx

《概率论基本公式归纳.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论基本公式归纳.docx（10页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、概率论与数理统计基本公式第一部分概率论基本公式1、A-8=AB=A-A及AuB=Au(8-A)2对偶率：AuB=AnBiAnB=AuB.,啊虫俄玄P(4-B)=P(A)-P(A为，特另Ih8uA时有：3、概率性率：?(A-B)=P(A)-P(B)9P(A)P(B)有限可加：ApA2为不相容事件，则P(AUA2)=P(A)+P(A2)对任意两个事件有：P(AUB)=P(A)+P(B)P(AB)4、古典概型例：双鞋总共2只，分为堆，每堆泡只，事件4每堆自成一双鞋的概率解：分堆法：C；=六驾,自成一双为：n!,则P(A)=-(2n-22!Ci5、条件概率P(HIA)=C幽,称为在事件A条件下，事件8

2、的条件概率，P(B)称为无条件概率。P(A)乘法公式：P(AB)=P(A)P(BIA)P(AB)=P(B)P(AB)全概率公式：P(B)=ZP(A)P(B1Ai)例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，(1)求取得红球的概率；(2)如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？解:设与=球取自i号罐,i=1,2,30A=取得是红球,由题知与、B2、当是一个完备事件7Q1由全概率公式P(B)=4P(Ai)P(3A),依题意，有：P(A|31)=;P(A|82)=；;P(A1B3)=了P(BT)=P(

3、B2)=P(B3)=,P(A)0.639.(2)由贝叶斯公式：P(qIA)=生包怒詈60.348.6、独立事件(1)P(AB)=P(A)P(B),则称A、B独立。伯努利概型如果随机试验只有两种可能结果：事件A发生或事件A不发生，则称为伯努利试验，即:P(A)=p,P(A)=I-p=q(0pZ=O,1,2k!则称X服从参数为；I的泊松分布，记为：乂。(团(或*万(；1),其中/*=灯=1.Jt=O泊松定理：在n重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率为P”,如果8时，nP1,(0的常数)，则对任意给定的k,有Iim仇女；，P)=IimC；Pf(I-P”)J石这表明，当n很大时，p接近。或O为

4、；I的指数分布，简记为Xe(4).其分布函数：F(x)=z,O0,其他，其期望E(X)=;,方差D(X)二表.I*)2(3)正态分布：若随机变量X的概率密度为/(x)=7e2，-00x0)都是常数。分布ItU一川2当；z=0,=1时，称为标准正态分函数为.fW=-re26,-oo+oo.(X)=2c1t.yf1J1-布，概率密度函数为：(x)=-=e2,分布函数为:y2定理：设XN(4,b2),则y=21幺N(OJ)其期望E(X)=,D(X)=2o9、随机变量函数的分布(1)离散型随机变量函数分布一般方法：先根据自变量X的所有可能取值确定因变量Y的所有可能值，然后通过Y的每一个可能的取值y,(

5、i=12)来确定丫的概率分布。(2)连续型随机变量函数分布方法：设已知X的分布函数FX(X)或者概率密度FX(X),则随机变量Y=g(X)的分布函数F(y)=PYy=Pg(X)y=PXC,其中Cv=xs(x)yt尸y(y)=PXgGJ=1f(x)dx,进而可通过Y的分布函数4(y),求出丫的密度函数。例：设随机变量X的密度函数为(x)=FTA1二1,求随机变量0,其他Y=X2+1的分布函数和密度函数。解：设4(y)和4(y)分别是随机变量摘分布函数和概率密崛数，则由-1x1得：1y2,那么当y1时4(y)=PYy=PX2y=Pa)=0,当1y2时，得：“yMPIYyhPIXZ+YyMR-TPg

6、VTnCa-Ixia=/十产(IT)么=2Tzi-(y-1(当y2W,Fr(y)=PYy=PX2+y=fdx+0,y1J：(I-IX1)公+0公=1,所以，F(y)=27T一(y-DJy2,1,y2-fJ=-1,1y2Fx(x)=4(y)=Jy-I0,其他10、设随机变量XN(。2),=aX+力也服从正态分布.即Y=aX+b-N(a+b,(a)21。11、联合概率分布(1)离散型联合分布:4=必PX=x,P11PH号J马PAPij舄jPY=无)与i4i1(2)连续型随机变量函数的分布:例：设随机变量(X,Y)的密度函数Fay)=F+y)M9420,其他求/(工),/(丁),石(乂),后(丫),

7、8丫(*,丫)，p，D(X+Y).解：当0WxW2时由yx(x)=二1/8(x+y)dy,得：x(x)=18x2+14x,当x2时，由OJy=O,所以，同理可求得:fCy)=18y214y,0y2O,其他E(X)=Vx(X)dx=7/6,由对称性同理可求得，E(Y)=7/6。因为E(XY)=I)f(x,y)dxdy=18(x+y)dxdy=4/3.所以，CoV(X,)=E(XY)-E(X)E(Y)=43-(76)2=-136oD(X)=E(X2)-E(X)2=f22x2f(fy心办一(为=!JOjo636同理得D(Y)=U,所以，PXY=COV(X,2=36/D(X)D(Y)H5D(X+Y)=

8、D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=-条件分布3A，母产,称F(XIA)为在A发生条件下,X的条件分布函数13、随机变量的独立性：由条件分布设A=Yy,且PYyO,则：F(xY0的X,定义在X=的条件下Y的条件密度函数为：(y)=vf(x)同理得到定义在Y=y条件下X的条件概率密度函数为：/xy(y)=M,若/0,y)=/X(X)y(y)几乎处处成立，则称x,Y相互f(y)独立。例：设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为：/(,y)=,(2x+y)9x0,y00,其它,求(1)确定常数c；(2)X,Y的边缘概率密度函数；(3)联合分布函数F(x,y);(4)PYWX;(5)条件概率密度函

9、数J(xIy)；(6)PX2Y,则：0,x(X)=2e-dy=1e-2x0,其匕“,W=FeAY,当yO时，人(y)=J；2产+毋公=e-yy.人(y)=卜：0,其匕j00,其匕(1-e-t)(1-e-v),x0,y00,其它(3)当X0,y(W寸,F(x,y)=2exdxdy=(2e-2x-2e-i2x-yidx=(1-2t)(1-e-y)当X0,y0,F(x,y)=Odxdy=0,.,.F(x,y)=0,yM小E毋=21My)=I蓝。(6)VFy(y)=eydy=1-eyPX2Y1=PX2,Y1_F(2,1)PY1=Fr(I)15、数学期望：(1)离散型：E(X)=Yxipii=(2)连续

10、型：E(X)=匚x)心，因为并不是每一个函数都能积分，所以并非所有随机变量都有数学期望。数学期望的性质：E(CX)=CE(X)E(X+X2)=E(X)+E(X2)设X，Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).例：10个人随机进入15个房间，每个房间容纳的人数不限，设X表示有人的房间数，求E(X)(设每个人进入房间是等可能的，且各人是否进入房间相互独立)附:二项分布b(n,P)和两点分布b(1,p)的另一个关系,仍设一个实验只有两个结果：A和A,1,第i次试验A出现0,第i次试验A不出现且P(A)=p,现在将试验独立进行n次，记为n次试验中结果A出现的次数，则Xb(n,p),若记Xj为第i次试验中结果4出现的次数，即：X,.=其中：X=X1+X2+Xi易知x=x+x2+x5由题意，任意房间没有人的概率为弓，则10个人都不在第号房间的概率为：那么在第i号房间有人的概率为-(V)K),即：1414Pxi=0=(),0,Px,.=1=1-(),0=1,2,3,1514二.Ea)=I-(百)H),i=1,2,3,15.14.E(X)=E(X1+X2+X15)=E(X1)+E(X)+E(X15)=151-(-),7.4816、方差：D(X)=EX-E(X)F=E(2)-E(X)2