满足数据点切向约束的二次B样条插值曲线.docx

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1、第30卷第12期计算机学报Vo1.30No.122QQ1年屋月CH1NESEJOURNA1OFCoMPUTERSDec.2007满足数据点切向约束的二次B样条插值曲线潘日晶(福建师范大学数学与计算机科学学院福州350007)摘要给出一种二次B样条曲线插值方法.利用数据点的参数化和节点向量的自由度,构造在各数据点满足切向约束的二次B样条插值曲线,直观地控制插值曲线达到预期形状.用文中方法构造插值曲线是一个递推过程,不必预先确定数据点参数值和节点向量、不必解线性方程组,而是在插值过程中根据数据点及其切向的约束条件递推地确定数据点的参数值、节点和控制顶点.该文方法允许插值曲线各段的连接点与数据点不一

2、致,以使得二次B样条插值曲线的形状更自然.而且在满足数据点切向约束的条件卜,还可利用节点进一步调控插值曲线的形状,另外,用文中方法构造的二次B样条插值曲线对于数据点的改变具有较好的局部性质.文中最后给出一些例子将该文方法与其它一些插值方法进行比较,实验结果表明,该文方法是有效的.关键词B样条曲线;插值;参数化;节点向量;切向约束中图法分类号TP391QuadraticB2Sp1ineInterpo1ationCurvesWith1angentConstraintsonDataPointsPANRi2Jing(Co11egeofMathematicsandComputerScience,Fuji

3、anNorma1University,Fuzhou350007)AbstractInthispaperanewinterpo1ationmethodforquadraticB2sp1inecurvesisproposedsoastofu11yuti1izethedegreesoffreedomprovidedbyparameterizationandknotvectortontro1theshapesoftheinterpo1ationcurvesintuitive1ybythetangentconstraintsondatapoints.With2outso1vinganyequations

4、ystems,theinterpo1ationprocedureofthemethodisarecursiveoneirwhichtheparameterva1uesatdatapoints,theknotsandthentro1pointsaredeterminedrecur2sive1yaccordingtothedatapointsandthetangentconstraintsondatapoints.Withthemethodthennectionpointsofadjacentcurvesegmentsarenotnecessari1ycoincidentwithdatapoint

5、s,sothattheshapesofquadraticB2sp1ineinterpo1ationcurvesaremorenatura1.Furthermore,un2dertherestrictionofthetangentnstraints,therearesti11somedegreesoffreedominconstruc2tinginterpo1ationcurvesbythemethod:theshapesoftheinterpo1ationcurvescanbefurtherad2justedbythese1ectionofknots.Besides,thequadraticB

6、2sp1ineinterpo1ationcurvesconstructedbythemethodpossessrathergood1oca1propertiesforthere1ievingdisturbancesondatapoints.Someexamp1esaregiventocomparethemethodproposedinthepaperwithsevera1otherinterpo2Iationmethods.Theexperimenta1resu1tsshowthatthismethodiseffective.KeywordsB2sp1inecurve;interpo1atio

7、n;parameterization;knotvector;tangentconstraint收稿11期:2006210221:最终修改稿收到I期:2007206217.本课题得到国家自然科学基金(60673014)、福建省自然科学基金(A0610007)和福建省教育厅A类基金(JA05207)资助.潘日晶,女.1955年生,教授.主要研究领域为计算机辅助几何设计、计算几何、算法设计与分析等.E2mai1:rjpanJnU.1引言在几何造型、逆向工程和计算机辅助几何设计等领域中，插值是种十分重要的技术B样条曲线由于具有局部性、保凸性和连续性等优点,被广泛应用于构造插值曲线B样条曲线插值虽然已得

8、到广泛的研究，但如何有效地控制插值曲线的形状仍然是一个值得探讨的问题.B样条插值曲线的形状不仅取决于给定的数据点,而且还受到曲线次数、数据点的参数化和节点向量的影响.在构造B样条插值曲线时,除了给定数据点外,往往也预先给定次数.这样,控制插值曲线形状的自由度还剩下参数化和节点向量.主要的参数化方法有均匀参数化方法、累加弦长参数化方法、向心(CentriPeIa1)参数化方法和Fo1ey参数化方法等.节点向量的选取通常与数据点的参数化相一致,但也有不一致的.例如，文献324中提出节点向量按以上任一种参数化方法选取，以相应B样条基函数最大值处的参数值作为数据点的参数值.文献5先采用向心参数化，再求

9、节点向量使得B样条基函数在数据点参数值处取最大值,文献6建议采用累加弦长参数化，通过对参数值求平均的方法取节点向量.以上提到的参数化与节点向量确定方法应用于插值问题时,主要是根据数据点分布的几何信息预先确定节点向量和各数据点的参数值.由于参数和节点与B样条插值曲线的几何形状之间的关系复杂，所以这些预先确定参数与节点向昂:的方法有时难以直观地控制B样条插值曲线，使之具有预期的几何形状,尤其是当数据点分布很不均匀且拐点较多时.要有效地控制B样条插值曲线的形状，应充分利用参数化与节点向量的自由度，一个途径是直接利用插值曲线本身的几何性质进行参数化和确定节点向量.考虑到B样条曲线的表示形式关于参数和节

10、点都是非线性的,对于高阶曲线而言,这样做需要解决复杂的非线性问题，因此采用低阶B样条曲线进行插值要相对简单.本文研究可有效控制形状的二次B样条插值曲线.二次B样条曲线形式简单，在连续性要求不是很高的情况下，作为插值曲线计算简单，且易于控制曲线形状.二次B样条曲线曾被认为不适用于插值,但实际上并非如此.文献5指出，二次B样条插值曲线形状不能达到预期效果是由于不适当的参数化和节点向量,而非其次数.文献8给出二次B样条曲线的种插值方法,直接利用插值曲线直观的几何约束条件如曲线在数据点处的切向、曲线段的相对高度等进行参数化，使得构造出的插值由线不仅在两端，而且在中间各段具有预期的几何性质.该方法在构造

11、插值曲线的过程中根据曲线的几何约束条件动态地确定参数值、节点向量和控制预点，整个过程不必解方程组，计算简便.但该方法只考虑节点向量的选取与参数化相一致的情况，即相邻曲线段的连接点与数据点相一致的情况.文献6给出的局部插值方法,可构造在数据点满足切向约束的二次B样条插值曲线，但该方法也只适用于适接点与数据点相一致的情况.由于二次曲线段中不含有拐点，所以当连接点与数据点相一致时，若数折点分布所建议的形状具有较多拐点且弯度较大，会使得插值曲线的形状不自然.deBoor指出对二次样条插值曲线而言，在节点区间内取参数值可使得插传线性方程组更加稳定.因此,在上述研究的基础上本文考虑更一般的问题，在允许节点

12、向量:的选取与参数化不一致的情况下，充分利用参数化与节点向量的自由度,构造在各数据点满足切向约束的二次B样条插值曲线，以使得插值曲线的形状得到更苜观有效的控制.实验结果表明,本文方法是有效的.2问题的提出二次B样条曲线由控制顶点序列&和节点向量T=/八)，力，f3,f力53确定,其表示形式如下；nC(D=JJ1rN1.2(I),t2,n+1(1)其中，Ni.2(t)(/=0,1,加为由节点向量T确定的二次规范B样条基函数.给定平面上个互异的数据点P.,P2.,P”，耍求顺序通过这些数据点的二次B样条插值曲线C.设C在数据点Pi,P2,P.的参数值分别为f1,的,fM,则c(。应满足c(ti)=

13、p,/=1,2,n(2)为了在保证问题的解存在的前提下让参数值的选取具有充分的自由度,下面总是设h=h,hS(h,。八J,/=2,3,fn(3)不妨进一步要求Cs为端点插值的,且以P.P”为两端点,于是应有在上述问题中,要确定满足条件式(2)的二次B样条插值曲线cd),相对于约束条件个数求解该问题有较多的自由度.考虑到曲线在数据点处的切向能直观地控制曲线形状,对插值曲线c(t)加上切向约束.给定Ca)在数据点p,处的单位切向量v/i=1,2,n),要求c(t)满足在应用中,单位切向量V,可直接获得,或根据数据点预先计算,计算方法见第5节.设11,丫为向量,下面用11,丫表示从U到V的有向夹角,

14、规定夹角的符号取逆时针方向为正,顺时针方向为负.记=(=1,2,n-I),O=(pj-p,-1,pI-pi(i=2,3,n-1)(见图D.为了使切向切能更有效地控制插值曲线C的形状，限制所取的Vi满足如下条件：XEO,|吊E1a1EO1|兀pn-p.I,v.IEO。=0ZV,+1与pi.1-Pi同向，i=1,2,n-1I+IV兀、若4,1E0,i=1,2,/J-1图1切向m以及有向夹角和本文要解决的插值问题是.给定平面上互异的数据点序列P.p2.，P”和满足条件(6)的单位切向量序列VI,V:,.V”，求控制顶点序列d(,d”、节点向量T=(g，力，,ft!1中筛+3和数据点的参数值,，d使得

15、所确定的二次B样条曲线c(t)满足插值和切向约束条件式.下面简称该问题为满足切向约束的插值问题.3满足数据点切向约束的二次B样条插值曲线的构造3.1关于数据点、控制顶点、节点和数据点的参数值的关系式将计算B样条曲线上点的deBoor算法的公式应用于二次B样条曲线C，有Jz.一.fJ,t1idi-2(t)=d.2+d-f+IIt-Ii-H-Ii-I.3-r,/-3,d,.(t)=,ch-i+.,d,r+2-Iii+2-Ii.力+1-f.iz1,t-tii.Ca)=di.(t)+d1i(t)+1-ti*1-tit/.,i2bi/(7)其中,规定0/0=0.在插值条件式(2)(4)的限制下,由式(刀可得到如下关于数据点、控制顶点、节点和数据点的参数值的关系式；力+1-ti.-力-I,o.=d,-2+,di.i,i=2,3t,ni+I-Ii-IiI-ti-I.1i+2-ti,卜-,.一C令1dj.2=d/-1di,-2,3,-1h2-fn+2I