线性代数模拟卷及答案.docx

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1、模拟试题四一、填空题(每空3分,共21分)1 .设A为3阶方阵，数；1=-2,IA1=3,则PIA卜2 .设向量组a=(1,2,3,4)7,%=(2,3,4,5)7a3=(3,4,5,6)r,a4=(4,5,6,7)r,则3 .已知A=4 .设矩阵A=-23-2X-2，8是3阶非零矩阵，旦48=0,则。=-4、-21;0、0相似，则x-y=-Ai5.若二次型/(内,X3)=2片+考+W+2%x2+2A是正定二次型，则a的取值范围是二.单项选择题(每小题3分,共15分)1.设A是3阶矩阵，将A的第二列加到第一列上，再交换第二行与第三行得单位矩阵，记rI00、4=110,、。01rI00、P2=0

2、01,则A=()(A)P1P2(B)Pi1P2(C)P2P1(D)鸟6T2 .设A是4阶矩阵，且A的行列式IA1=0,则A中()(A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素成比例(C)必有列向量是其余列向量的线性组合(D)任意列向量是其余列向量的线性组合3 .设A与B均为3阶方阵，且A与8相似，A的特征值为1,2,3,则(2B)T的特征值为()31114 (A)2,1(B),(C)1,2,3(D)2,1,I(A)A+B=A+B(B)AB=BA(C)AB=BA(D)(A+By1=+A15 .设A,B均为n(n2)阶方阵，则必有()6 .设维向量4,。2，,%“(加)线性无关，则维向量口，尸2，,分

3、“线性无关的充要条件为)(A)向量组冈，%，%,可由向量组4，人，见线性表示(B)向量组4，A，,舟可由向量组%,%，”线性表示(C)向量组四，a2，-,%,与向量组川，/2，&等价(D)矩阵A=(,%,，/3与矩阵8=(*，&)等价三.(每小题6分，共12分)11O1O1八的值O1111111(1)计算行列式0=O-X1-4x2x3=1ax2-3xi=3xi+3x2+(+1)x3=0无解，有唯一解，有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。六.(本题12分)设有向量组四=(1,2,1,3)7,%=(1,-1,0,-1),(X3=(1,3,4,7)r,试求此向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量

4、用此极大线性无关组表示出来。七.（本题12分）已知二次型/（玉，工2，13）二22+工；+考+2玉%2+2工2工3+2%2%3，求一个正交变换尤=Ey,把/化为标准形，并写出该标准型。八.（本题8分）设阶实对称矩阵A满足424-2E=0,证明：A+2E的所有特征值都不等于零。模拟试题四答案一.填空题(每空3分,共15分)1.设/为3阶方阵，数2=-2,=3,则PUI=-24.2,设向量组=Q23,4)14=(2,3,4,5)1%=(3,4,5,6),=(4,5,6,7)则(a1.a2,a3,a4)-2.-32-2、3,已知/=2a3.5是3阶非零矩阵,AB=Q.WJa=1/3.、3-111-2

5、-4、4004.设矩阵4=-2X-2与A=OjO相似，则X-厂-14-21、00一4,5.若：次型/(x,x2,占)=2；+X；+X；+2科+以2巧是正定二次型，则的取值范困是-及.二.单项选择题(每小题3分,共15分)1.设力是3阶矩阵，将的第二列加到第列得矩阵,再交换的第二行。第*行得单位矩阵,00、01.OM=(D)10,0(0.A=0J10(A)PxP2(B)P1-OIdP1=IOOP2(C)P2Px(D)P2Pi2.设/是4阶矩阵，且4的行列式|=0,则/中(O(A)必有一列元素全为0(B)必仃两列元素成比例(C)必仃列向此是R余列向此的线性组合(D)任意列向盘足箕余列向盘的线性组合

6、3.设4与8均为3阶方阵，且才与6相似，/的特征值为1,2,3,则(28尸的特征值为(B)(A)2,1,I(B)1i(C)I，2,3(D)2,1,1224634.设48均为(22)阶方阵，则必仃(C)(A)A+B=A+B(B)AB=BA(C)ICB1=I网(D)(A+B)x-B+Ax5.设维向址/。2,。式)线性无关，则维向依4.4,4线性无关的允要条件为(D)(A)向量线即修，。.可由向量组4,耳，儿线性衰(B)向最组织外,瓦,可由向盘组即见,(线性表示(C)向此组囚.，。-,与向姐外外,儿等价(D)矩阵/=(1,2,aw)与矩阵8=(。,外，,瓦)等价三.(年小!S6分，共12分)(D计算

7、行列式。11I(A-2E)X=B(A-2E)OOI又.N-2E=01O=-2O200.“2E可逆0O%=O1O1OO/O%OOYoOIooTOOIO0000O人2OQJ.X=(A-2EyiB(A-2E)OOA-2E=O1OA-2EYx2O0,ZOX=(A-2E)B(A-2E)=OIOO0=0-10O1H.(本题14分)当0取何值时,线性方程组-JT1-4X2+Xj=1ax2-3j=3x1+3x2+(+1)xj=O无解,仃唯解.有无穷多解?并在省无穷多解时求其通解解：a=-38j,R(A)=R(Ab)=2-1-41；ra=-3Hj,A,Ab)=O-3-3:3、I3-2。rO-53O11i-1OO

8、Oe“If5通解为：X=-I+A-1,keR.,ju六.(本题12分)设有向a1=(1,23)z,aj=(-1-1,0-1)r,arj=(i-X-4-7)r,a4=(2,1-1,0)r,试求此向敬组的个极大线性无大组，并将其余向ht用此极大线性无关组去示出来.f-112-1-3/=(qa2aij=j、3-1-7所以R(aia2a34)=2,%,%为,极大线性无关组W,ai=-4-5a2,a4=-a1-3a2七.(12分)已知二次型/(x,x2,xj)=+x；+x；+2xix2+2xj+2x,xj,求个正交变换X=P丫，把/化为标准形，并出该标准型。解：fIJ=III,f-=2U-3)%的特征值

9、4=4=0,4=3,对应的特征向量为：1=(-1I0)r,务=(一1-12)r,=OIOr将。=(-11O)r,i(r-12)1&=(III)Ir单位化得1-I2)r,6=.(11I)，令%为后、/=(鸟幻=%为x=PY、。九%则/=3W八.(8分)设阶实对称矩阵/满足2-2E=O,证明：A+2E的所有特征值都不等于零.证明：假设。是4+2的一个特征值，则p+2f=0/.J2-J-2E=O=I2=J+2=|J|2=A+2E=0nd=0又/-N-2E=0=2-=2E=4-E)=2E=-|=2n0矛盾.所以4+2的所仃特征值都不等于与一、填空题（每空2分,共20分）23、1.已知A=1-1X,贝I

10、J1H=J1-I2.已知矩阵A=11J模拟试题一其中一次项的系数为_11211,且A的秩A(A)=3,则Z=，M1=一1k111k,x+y=03.已知线性方程组（-2x+3y=5有解，则=,方程组的全部解为一2x+y=a4.设A是3阶方阵，=3,若A有特征值/1则（4厂必有一个特征值是，（24丁5.若二次型/（2，x2,.）=222+w+后+2玉2+陋”3是正定二次型，则该二次型的矩阵为，a的取值范围是.二、单选题（每题3分,共15分）1.设A是一（九31,A”是A的伴随矩阵,又攵是常数,且上w0,1,则必有（ZA）*=（）.（A）.M*；（B）.kn-iA（C）.（D）.2.设A是4阶矩阵，

11、且A的行列式IA1=0,则A中（）.（A）.必有一列元素全为0：（B）.必有两列元素成比例：（C）.必有列向量是其余列向量的线性组合；（。）.任意列向量是其余列向量的线性组合.113.已知Q=2心23、4t69)P为3阶非零矩阵，且满足尸Q=O,贝J（）.（A）.1=6时，P的秩必为1；（B）./=6时，P的秩必为2：（C）.z6时，P的秩必为2：（O）.r6时，尸的秩必为14.阶矩阵A具有个不同特征值是A与对角阵相似的（）.（A）充分必要条件：（8）充分而非必要条件：（C）必要而非充分条件：（。）既非充分也非必要条件.，则A与5（）.三.（本题共8分，每小题4分）12321O3O14OO4O

12、O计算（1）d四.（本题满分10分）设阶矩阵4和8满足条件：A+B=AB,证明：A-E是可逆矩阵，其中E是阶单位：已知矩阵8=20、021五.（本题满分15分，第一小题8分，第二小题7分）（1）有向量组T：1、,3、J2、-32-65-1，%=1012,试求向量组T的秩和一个最大%无关组，并用最大无关组表示其余向量.（2）设向量组四，%，。3线性无关，向量组尸|，-2，23可由向量组四，。2，。3线性表示：=a+4%3,2=2%+a2_%，自=%-3%，试证明向量组力，尸2，A线性无关.六.（本题满分12分）当。、力为何值时，线性方程组x1+x2x3+x4=OX2+2x3+2x4=1-x2+(a-3)x3-2x4=b3x12x2+x3+ax4=-i有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通