完整版重积分习题及答案.docx

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1、第九章重积分(A)1 .填空题(1)设P(X,y)=2y,(x,y)=x3y2,定义于D:0vxv1,Ovyv1,则P(x,Wb(x,y)dDD(2)设曲顶柱体的顶面是z=(x,y),(x,y)D,侧面是母线平行于Z轴，准线为。的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为V=。(3)在极坐标系中，面积元素为o2 .利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) J(x+y)2db与J+y)34b,其中积分区域。由X轴，y轴以及直线x+y=1所DD围成。JJD2加与JJ(X+y)3d,其中积分区域。是由圆周(工-2)2+。-1=2所DD围成。3 .利用二重积分性质，估计积分/=口(2/+2+9

2、卜。的值，其中。是圆形闭区域DX2+y24o4 .交换积分的积分次序。JaJ2-t5 .交换积分的积分次序。6 .交换二次积分J；ZyJ标/(x,y)的积分次序。7 .计算J(3x+2yb,其中O是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域。D8 .计算JJXCo(r+y)Jb,其中。是顶点分别为(0,0),(肛0)和(肛乃)的三角形区域。D9 .计算J(1+x)sinb,其中O是顶点分别为(0,0),(1,0),(1,2)和(OJ)的梯形闭区域。D10 .计算二重积分OdTfy,其中区域。由曲线y=1-与y=/_i围成。D11 .计算二重积分其中。是由圆周/+y2=4及y轴所围成的右半闭区域。

3、12 .计算，其中。是圆环域1+y2413 .计算JJ1n(I+/+,2卜c7,D：2+y21,x0,y0D14 .计算二重积分J2+y24dy,其中。：X2+y22xOD15 .计算J；/阂Heydy。16 .求区域ra(1+cos)的面积。17 .求由y=2x,y=p孙=2围成的平面图形的面积。218 .求椭圆抛物面z=4-Y一21与平面Z=0所围成的立体体积。419 .设平面上半径为。的圆形薄片，其上任一点处的密度与该点到圆心的距离平方成正比，比例系数为&,求该圆形薄片的质量。20 .由圆*=2cosg,r=4cos8所围成的均匀薄片，面密度P为常数，求它关于坐标原点。的动惯量。(B)1

4、 .选择题设空间区域Cx2+z2/?2,z0,2:x2+z2/?2,x0,y0,z0,则()A.zdv=dvB.v=4JvC.v=2vD.dv=2dv121,i2122 .根据二重积分性质，比较下列积分大小：1 1)jIn(x+)cr与JJ1n(x+y)yAr,其中。是三角形区域，三顶点分别为(1,0),(1,1),DD(2,0)o2 2)JJ1na+Mb与,其中。是矩形闭区域：3x5,0y1DD3 .估计积分值=JJ+y+1Mb,其中。是由圆周/+V=4围成。D4 .估计二重积分/=ff11db的值。I温o10+COSx+sny7 .交换二次积分次序J：力J二/(工,丁依。8 .改变积分次序

5、Cdd(x,yM9 .计算二重积分JJyeRadA其中。是由直线X=1,x=2,y=2及双曲线孙=1所围D成的区域。10 .计算二重积分J；办2dyo11 .计算积分J；cbcy-X2+y2dy12 .JJeFdb其中。是由x+y1所确定的闭区域。13 .JJ(x2+y2-x,其中。是由直线y=2,y=X及y=2x所围成的闭区域。D14 .计算。2冷，2如，其中。由抛物线V=及直线y=-2所围成。D15 .计算6jx2sinxydx。16.16 .计算JeAdrdy,。是由曲线y=/,y=0,x=1所围成的区域。III=dydxOyx2+y24a2-(2+/)17 .计算jj(j；一)；T版,

6、其中。为Y+)/.在第一象限的部分。OI1+X+y)18 .计算(|XI+1ydxdy019 .计算IjJdxdyoU1+y120 .计算y-x2dxdy-ISE0y121 .计算三重积分JMw,其中Q由三个坐标面与平面2x+y+z=1所围成。22 .计算JJsin(x+y+zMrdydz,其中V是平面x+y+z=工和三个坐标平面所围成I,2的区域。23 .计算积分/=JjJxdxdydt。V24 .计算积分Jj（+y2+zd）Wz,其中V为第一象限中由旋转抛物面Z=+y2与圆V柱面/+y2=所围成的部分。25 .计算=jg（2+y2d）Wz,其中Q是由曲线,。绕Z轴旋转一周而成的曲面与平面z

7、=2,z=8所围的立体。26 .求由下列曲面所界的体积，z=x+yfz=xyfx+y=1,X=O,y=027 .求由圆锥面z=4-庐与旋转抛物面2z=+,2所围立体的体积。28 .求平面色+=+三=1被三坐标面所割出部分的面积。abc29 .求底圆半径相等的两个直交圆柱面/+V=R2及/+z2=R2所围立体的表面积。30 .一个物体由旋转抛物面z=x2+及平面Z=I所围成，已知其任一点处的体密度P与到Z轴的距离成正比，求其质量加。31 .求由圆r=acos,r=20cos6所围成的均匀薄片的重心。32 .一均匀物体（密度P为常量）占有的闭区域是由曲面Z=/+V和平面z=o,X=a,Iy1=。所

8、围成的。（1）求其体积；（2）求物体的重心；（3）求物体关于Z轴的转动质量。（01.将下面积分化为重积分，并求/的值。/=叫饪e,%Jfy+叫兀八%Jfy,其中0f,0JycgtI2常数。2 .设区域。为图中斜线部分，试将二重积分/=3/（再丁）心力化为两种次序的二次积分。D3 .计算三重积分JjJa+zMu,其中Q是由曲面Z=JX2+y2与Z=JI2-y2所围成的区域。4 .计算13x+4yIdxdy,D：x2+y215 .设/(x,y)连续,且/(x,y)=x+JjW其中。是由y=1x=1,y=2所围Dx区域,求/(,y).6 .(1)计算Jje-J-Jdj2ax-x2故重积分交换积分次序

9、为：1=/(x,y)dxo5 .交换积分山(尤丁班的积分次序。解：画出积分区域图，易知J；对：/H)必“/(y,6 .交换二次积分J；dyJ孩7(x,y)的积分次序。解：积分的上下限作出积分区域的图形，原式=Jfe/N加+J：dxtx馍X。7 .计算J(3x+2yb,其中。是由两坐标轴及直线x+y=2所围D成的闭区域。9.计算O(I+x)sinb,其中。是顶点分别为(0,0),(1,0),D(1,2)和(Oj)的梯形闭区域。X2X+一2解：原式=J：(1+x)(+M)V()n(1+T,2M=(2In2-1)14 .计算二重积分J+y2dy,其中。：X2+y22oD解：在极坐标下计算原式=JJ加夕D=Jdr2dr=J)cos3dr%9=32=卫J。3339-2F15.计算J：x2dxeydy。解：需改变积分次序才能完成积分，原式=JjX2dxdy=je-vIfyJ；D=-ue,du=-ueu-e6j61=-(1-2)6、716.求区域r(1+cos)的面积解：区域在极坐标下可表示为积分区域如图所示x2dxbt3zQ)OO=V(r,6)ra(+cos故区域。的面积为：A=rdrd=d22aJ*Q+=JaBkoS2+2(=(r217.求由y=2x,丁=；解：设所求面积为S,由S=IWfdX+