人教版八年级上册 123 角平分线的性质和判定 讲义无答案.docx

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1、角平分线内容及典型例题一.复习内容：1 .角平分线的作法.2 .角平分线的性质及判定.3 .角平分线的性质及判定的应用.二.知识要点：1 .角平分线的作法（尺规作图）以点O为圆心，任意长为半径画瓠，交OA、OB于C、D两点；分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画孤，两瓠交于点P；过点P作射线OP,射线OP即为所求.2 .角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.推导：OC平分NMON,P是OC上任意一点，PAJ_0M,PBJ_ON,垂足分别为点A、点B.求证：PA=PB.证明：VPA0M,PBONZPAO=ZPB0=90oOC平分NMONZ1=Z2在APA

2、O和APBO中，PA0PB0APA=PB几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如下图，:OP平分NMoN（Z1=Z2）,PAOM,PBON,PA=PB.（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.推导:点P是/MON内一点，PAJ_OM于A,PB_1ON于B,且PA=PB.求证：点P在NMON的平分线上.证明：连结OP在RfZPAO和RtZXPBO中,RtPAORfPBO（H1）Z1=Z2AOP平分NMON即点P在NMON的平分线上.几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.）如下图,VPAOM,PBON,PA=PBZ1=Z2（OP平分NMON）3 .角

3、平分线性质及判定的应用为推导线段相等、角相等提供依据和思路；实际生活中的应用.例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米.在以下图中标出工厂的位置，并说明理由.4 .画一个任意三角形并作出两个角（内角、外角）的平分线，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系.三.重点难点：1 .重点：角平分线的性质及判定2 .难点：角平分线的性质及判定的应用【考点分析】本讲内容作为根底内容来讲，它在中考题中偶尔以选择题或填空题的形式出现，但角平分线的性质及判定有时出现在综合题题目当中，因此还是比拟重要的.【典型例题】例1：如下图，NC=NC=90o,C=

4、C,.求证：（1）ZABC=ZBC,；（2） BC=BC,（要求：不用三角形全等判定）.分析：由条件NC=NC=90o,AC=AC,可以把点A看作是NCBC平分线上的点，由此可戳开思路.证明：（1）TNC=NC=90oO,AC1BC,ACIBCz（垂直的定义）.又.AC=ACO,点A在/CBC的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.ZABC=ZABCz.（2） VZC=ZC,NABC=NABC,180o-（ZC+ZABO=180一（NCZABCz）（三角形内角和定理）.即NBAC=NBAC,VAC1BC,ACIBCz,BC=BC,（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）.评析

5、：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性.例2.如下图，ZkABC中，PEAB交BC于E,PFAC交BC于F,P是AD上一点，且D点至UPE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分NBAC,并说明理由.分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理.根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出1=N2,再利用平行线推得N3=N4,最后用角平分线的定义得证.解：AD平分NBAC. D到PE的距离与到PF的距离相等,，点D在NEPF的平分线上.Z1=Z2.XVPE/7AB,Z1=

6、Z3.同理，N2=4.Z3=Z4,.AD平分/BAC.评析：由角平分线的判定判断出PD平分NEPF是解决本例的关键.“同理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理.例3.如下图，ABC的角平分线BM,CN相交于点P,那么AP能否平分NBAC?请说明理由.由此题你能得到一个什么结论？分析：由题中条件可知，此题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段.解：AP平分NBAC.结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.理由：过点P分别作BC,AC,AB的垂线，垂足分别是E、F、D. BM是NABC的角平分线且点P在BM上,APD=PE

7、（角平分线上的点到角的两边的距离相等）.同理PF=PE,PD=PF.,AP平分NBAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）.例4.如下图的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400%,现分别以公路、铁路所在直线为X轴、y轴建立平面直角坐标系.（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标.分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400姑点P在第四象限，求点P的坐标时要注意符号.解：（1）点P在公路与铁路所夹角的平分线上，点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，又点P到公路的距离是40

8、0/， 点P（学校）到铁路的距离是400加.（2）学校所在位置的坐标是（400,-400）.评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等例5.如下图，在AABC中,ZC=90o,AC=BC,DA平分/CAB交BC于D,问能否在AB上确定一点E,使4BDE的周长等于AB的长？假设能，请作出点E,并给出证明；假设不能，请说明理由.分析：由于点D在NCAB的平分线上，假设过点D作DE_1AB于E,那么DE=DC.于是有BD+DE=BD+DC=BC=AC,只要知道AC与AE的关系即可得出结论.解：能.过点D作DE1AB于E,那么ABDE的周长等于AB的长.理由如下：TAD平分NCAB,

9、DC1AC,DEAB,DC=DE.在RfZiACD和RtZXAED中，RfACDRfAED（H1）.AAC=AE.又AC=BC,AE=BC.BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AE+BE=AB.评析：此题是一道探索题，要善于利用条件获得新结论，寻找与要解决的问题之间的联系.此题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化.这是初中几何中常用的一种数学思想.方法总结学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所

10、以证题时，不习惯直接应用这两个结论，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论.所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路.练习题一.选择题1 .如下图，OP平分NAoB,PC_1OA于C,PD_1oB于D,那么PC与PD的大小关系是（）A.PCPDB.PC=PDC.PCAEB.BC=AEC.BCAF,且NAED+NAFD=180。，那么结论还成立吗？18 .如图，N1=N2,AE_1OB于E,BD_1OA于D,AE与BD相交于点C.求证：AC=BC.19 .如下图，某铁路MN与公路PQ相交于点0,且夹角为90,其仓库G在庆区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为cm.(1)在图上标出仓库G的位置.比例尺为1：10000,用尺规作图(2)求出仓库G到铁路的实际距离.四.探究题20 .有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：(1)如下图，以0为圆心，任意长为半径画弧交0M、ON于点A、B；(2)以0为圆心，不等于(1)中的半径长为半径画瓠交0M、ON于点C、D；(3)连接AD、BC相交于点E；(4)作射线OE,那么OE为NMON的平分线.你认为他这种作法对吗？试说明理由.