专题一 第4讲 导数的几何意义及函数的单调性 2.docx

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1、第4讲导数的几何意义及函数的单调性考情分析1导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题.考点一导数的几何意义与计算【核心提炼】1 .复合函数的导数复合函数y=(g(x)的导数和函数=g(x)的导数间的关系为yx=y.2 .导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.例1(1)(2023芜湖模拟)已知T

2、W=Inx一夕(1)x2+x+,则曲线“r)在点(1,川)处的切线方程为()A.xy1=0B.4-y-1=0C.x4y1=0D.4x4y1=0答案D解析由题意得，/(X)=T-F(1)1,令x=1,可得/(1)=1-/(1)+1,解得/(1)=1,根据导数的几何意义可得，在点(1,犬1)处切线斜率女=/(1)=1,又KV)=In%x2+,所以T(I)=In1+1+(=,即切点为(1,3),3所以切线方程为y1,整理得4x4y-1=0.(2)(2023新高考全国1)若过点(,b)可以作曲线y=e的两条切线，则()A.QhaB.ertZ?C.OtzeftD.0O,则切线方程为y-b=ex(xa)1

3、由yo-b=e*(3一0),JD=e%,得e(1xo+)=仇则由题意知关于XO的方程e(I-o-a)=b有两个不同的解.设7(x)=et(1-+),则，(X)=eU-+)-er=-ex(-),由/(x)=0得x=a,所以当K时，/(x)0,_/(X)单调递增，当K时，/(x)0,_/(X)单调递减，所以/(x)max=()=e(1-+)=巴当xOt所以大外0,当彳一8时，小：)-0,当+8时，Av)T8,函数y()=e(1-+)的大致图象如图所示，因为火X)的图象与直线y=b有两个交点，所以Oa方法二(用图估算法)过点(,b)可以作曲线y=e的两条切线，则点(0,3在曲线)=e*的下方且在X轴

4、的上方，得(RA=2,解得b=2,故2+b=2+2=4.若曲线y=sin2x+坐cos2在AaI,y),B(X2，”)两点处的切线互相垂直，则IXIr2的最小值为()4C兀-2CA.?B，2C.D.答案B解析Vy2xfcos=n2x+乎xi誓4碓若)+坐y=COS(zt+：),曲线的切线斜率的取值范围为又曲线在A(X1,j),Bg”)两点处的切线互相垂直，故在A(Xy),8(x2,”)两点处的切线斜率必须一个是1,一个是一1则IX1X2min=去考点二利用导数研究函数的单调性【核心提炼】利用导致研究函数单调性的步骤研究函数y=的定义域；(2)求y(x)的导数/(X);(3)求出F(外的零点，划

5、分单调区间；(4)判断F(外在各个单调区间内的符号.例2已知Kr)=(-1nx)+午R.讨论人彳)的单调性.解兀灯的定义域为(0,+),f(x)=a-?+?=p.若40,当x(O,D时,f(x)0,4r)单调递增；当x(1,+8)时，/()2时，0Jo,y(x)单调递增；(x)0,汽外单调递增；当xW,1)时，f(x)1,若0,f=n(-DG+-D当02时，y在(o,1U上单调递增，在I)上单调递减，在(I,+8)上单调递增.规律方法讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集来讨论：(1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内

6、进行的，千万不要忽视了定义域的限制；(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论；(3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.跟踪演练2(2023全国II)已知函数凡r)=21nx+1(1)若人1)乏2+小求C的取值范围；设A0,讨论函数g(x)=驾三誓的单调性.解设h(x)=J(x)-2-ct则h(x)=2nX2x1?,2其定义域为(0,),h,(x)=-2.当Oy0;当QI时，h,(x)0,当K(a,+8)时，f(x)0,所以贝外在(0,a)上单调递增，在(a,+8)上单调递减,所以(x)0(或/(x)v)在xO上有解.例3

7、(1)(2023六安模拟)已知函数/(x)=ex-e-,g(x)=sinx+:x3or.对于任意即，如且即关X2,都有犍二臀0,则实数。的取值范围是()g)g(M)A.a0B.W0C.a0，所以KtI)一兀3),g(H)g(42)同号，因此M与g(x)的单调性相同，Svx)S2)因为/)=d+ero,所以函数於)为增函数，因此gw也为增函数，g(X)=COSX+%-小因为g(x)是增函数，故CoSX+%2恒成立.即Wcosx+*恒成立.令(X)=COSX+#,则力(x)=X-SinX,设(X)=X-SinX,因为机(x)=I-CoSX20,故m(x)=-sinx为增函数，又w(0)=0,故当0

8、时，/n(x)0,即(x)0,即(x)0,因此(K)单调递增，故(x)=cosx2的最小值为(0)=1.故W1.(2)定义在R上的函数段)的导函数为/，若/(X)矶r),则不等式巧5+1)凸(太一3)的解集是()B.(2,+)A.(8,2)D.(8,4)C.(4,o)答案Dfe2if-a/、IX)，(f()n解析令Sa)-e,v(入)-e(x+1)=,(x+1)=er,1(x+1),r/(2-3)又e(2x3)=e2x-3，不等式ey(x+1)e1(2-3),可化为exex+,(x1)e4ezt-3(2x-3),即e21(x1)e2tt(2-3),即9(x+1)2-3,即XV4.规律方法利用导

9、数比较大小或解不等式的策略利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或求解不等式的问题，转化为利用导数研究单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式.跟踪演练3若函数段)=&f2+1nx在(1,3)上不单调，则实数。的取值范围为()1Z,10r2-21斛析/(x)=-2+-=,令(x)=0v2-2or+17U)在(1,3)上不单调,，矶X)在(1,3)上有变号零点，当4=0时，不满足题意；当0时，0(%)的对称轴为x=1,.R(1)9(3)vO,解得a.(2)(2023宁波模拟)己知,f,%a,若e-J=sina2si”，则下列结论一定成立的是（）A.a+Q=，B.a+夕=C.aD

10、.a答案D解析由a,4（0，习可知，sinQ0,所以e-e=sina2sinSVSinasin,整理可得eSina0,故於）在（0,9上单调递增，所以av,专题强化练一、单项选择题1 .(2023全国I)函数y(x)=f2/的图象在点(1,y(i)处的切线方程为()A.y=-2-1B.y=-2x1C.y=2x3D.y=2x+1答案B解析1)=1-2=-1,切点坐标为(1,-1),f(x)=4j-62,所以切线的斜率为A=/(1)=413-612=-2,切线方程为y+1=2(x1),即y=2x+1.2.已知函数/(X)=X(eer),则W()A.是奇函数，且在(0,+8)上单调递减B.是奇函数，且在(0,+8)上单调递增C.是偶函数，且在(0,+8)上单调递减D.是偶函数，且在(0,+8)上单调递增答案D解析因为t(x)=x(eAe),xR,定义域关于原点对称，且x)=x(e-r-ex)=x(ev-e-)=J(x),所以yu)是偶函数，当Qo时，f()=ex-e-t+