第四章矩阵分解.docx

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1、第四章矩阵分解矩阵分析第四章矩阵分解4.1:矩阵的满秩分解4.2:矩阵的正交三角分解4.3:矩阵的奇异值分解4.4:矩阵的极分解4.5:矩阵的谱分解矩阵分解前言矩阵分解定义:将一个已知矩阵表示为另一些较为简单或较为熟悉的矩阵的积(或和)的过程称为矩阵分解.例：(1)对任意n阶正规矩阵Az存在酉阵UUnxn使A=diag(1z.z)U*,其中入1,入n为A的所有特征值的任一排列.(2)对任意n阶正定矩阵A,存在可逆阵QCnnn使A=Q*Q或存在唯一正定阵B使A=BB.矩阵分解意义:有利于研究已知的矩阵.例如,利用正定阵A的平方根B为正定阵可证:对任意Hermite阵HzAH或HA都有实特征值.1

2、(AH-(A12)-1AHA12=A12HA12Hnn)2初等变换与初等矩阵(p73)三类初等变换：(行(列)变换一一左(右)乘)(1)将矩阵A的两行互换等价于用第一类初等矩阵P(iJ)左乘A;(2)将矩阵A的第i行乘以k0等价于用第二类初等矩阵P(i(k)=diag(1,Ik1,1)左乘A.将矩阵A的第j行乘以k0后再加到第i行等价于左乘第三类初等矩阵P(iJ(k)P(iJ)=初等变换与初等矩阵举例1?147?147?01?258?=?369?;?10?369?258?147?1?174?258?01?=?285?369?10?396?1?147?147?0.2?258?=?0.411.6?

3、;?1?369?369?147?1?147/9?258?1?=?258/9?369?1/9?361?1?P(i,j(k)=1?1k1?1?31?123?123?41?456?=?O?3?6?;?1?789?789?3?120?123?1?456?1?=?45?6?789?1?78?12?4初等变换与初等矩阵的性质3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0).将A依次作初等矩阵P1,Pr对应的行(列)初等变换等价于左(右)乘A以可逆矩阵Pr.P1(P1.Pr).可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的行(列)是A的行(列)的任意排列；可适当选第三类初等矩阵P(iJ(k)中的k使P(ij(k)A的

4、(i,j)元变为0;可适当选第二类初等矩阵P(i(k)中的k使P(i(k)A的非零(i,i)元变为1.存在初等矩阵的乘积P和Q使PAQ=,其中r=rankA.初等变换与初等矩阵的性质续命题:设ACrmXn前r列线性无关,则用初等行变换可把A变为Er,11*?*?*?*?一般地?ACrmn都存在m,n阶可逆阵P和Q使PAQ二5证:因前r列线性无关,故用第一类初等矩阵左乘可使A的(11)元0.再用第二类初等矩阵左乘可使a11=1;最后用若干第三类初等矩阵左乘可使A的第一列二e1.因前2列线性无关,故新的第2列与e1线性无关且故用第一类行变换可使(2,2)元O,可使A的第2列=e2.可使A的第r列=

5、er.此时空白处必为O元.安徽大学章权兵1矩阵分析4.1:矩阵的满秩分解1?A=?2?0?OOo没有PC333使PA=?0?OOO0?1?1?00?0?OO10?1?1?=?20?O?O1O0?0?0?1.0?定义:对任意矩阵AeCrmxnA=BC称为A的一个满秩分解,如果BCrmr,CCrrn.例：1?1?071212313?1?2?=?1?1?0?1?12?01?14?=?1?11?1?0O12?13?01?1O115?1?1?AP(2f3)=?2?O?100?100?10.50?PAQ=P(2z1(0.5)AP(2,3)=?0.510?21O?=?O1O?OO1?OO0?OO0?m=3,

6、n=4,r=2.注:可能存在不仅是常数差别的两个实质不同的满秩分解.矩阵满秩分解的存在定理定理4.1.1:任意矩阵ACrmnz都有满秩分解：A=BCzBCrmrCCrrn.证:由初等矩阵性质知：存在可逆阵PCmmm和QCnnn,使PAQ=从而AEr?O?O?Er?=?0?O?Er?-1?(Er=P?O?(Er?0)存在定理中矩阵BzC的决定对于A的前r列线性无关的情形：EPA=?r?0D?Er?=(Er0?0?D)EA=P?1?r?0D?Er?1?=P?(Er0?0?D)=BC其中0)E?B=P?1?r?;C=(Er?0?D)Q-I0)=BC,其中B=P-1?Er?0?rC=?(ErQ-I满足

7、所要求的条件.C是PA的前r行(即所有非0行)组成的矩阵,B和C的秩显然都是r.10矩阵B的进一步决定对于A的前r列线性无关的情形：要求PA的前r列化为(Er,0)T,故有B=P-I(ErzO)T?PB=(ErQ)T=PA1其中A1为A前r列组成的子矩阵,由此推出B=A1.(参看P.183-184定理的证明及例4.11,例4.1.2)对下例,A的第1,3两列也线性无关.令AI为A第13两列组成的子矩阵并将A的第1,3两列化为(E2,0)T,C为所得矩阵的前2行.则不难看出也有A=BC和B=A1求矩阵满秩分解的初等变换方法再以A=?1?1123?232?为例作说明如下:?O11?1?用初等行变换

8、把A前两列变为(E20)T1123?1123?1014?11?1014?123277O117177O11717=71277O1171777O11?1?011?1?0000?01?a1a2用初等行变换把A的1,3两列变为(E20)T?1123?112?1232?70117011?1?011?3?1?105?12?171O577177O11717=713777O117177177OOOa1a3安徽大学章权兵2矩阵分析关于矩阵满秩分解的注矩阵满秩分解不唯一；但同一矩阵的两个满秩分解的因式矩阵之间存在密切关系(见定理4.1.2).ACrmn?r=rankAminm,nA的秩等于它的行秩,列秩或行列式秩

9、.A的行(列)秩是它的行(列)最大线性无关组的行(列)数A的行列式秩是其非0子式的最大阶数.A=BC?rankArankB且rankArankCrankA=rankA*13弓任里4.3.1引理4.3.1:对任意矩阵ACrmn有rank(AA*)=rank(A*A)=rankA*=rankA=r.证:因方程组AX=O的解空间维数等于n-rankA1(*)故为了证明rank(A*A)=rankA只须证明下列两个方程组有相同的解空间即可Ax=OA*Ax=0显然,x满足?X满足.X满足?XWAx=OzBP(AxzAx)=O?Ax=O,即X满足.注利用A的任意性以A*代A由(*)得rankA=rankA

10、*=rank(A*)*A*)=rank(AA*)同一矩阵两个满秩分解间的关系定理4.12若A=BC=B1CI均为ACrmn的满秩分解，则存在Crrr1使得B=B1zC=-1C1.证:若A=BC=B1C1贝UBCC*=B1C1C*.由p.190弓任里4.3.1知:rank(CC*)=rankC=r1从而CC*Crrr为可逆矩阵,且满足B=B1C1C*(Ce*)-1.由上式推出rrank(C1C*)rankB=r,即rank(C1C*)=r.进而=C1C*(CC*)-1Crrr,满足B=B1.同理可证C=(B*B)-1B*B1C1=,C1z,Crrr.因此,BC=B1C1?B1,C1=B1C1?B

11、1*B1,C1C1*=B1*B1C1C1*弓任里4.3.1?0&=E?0=e-1定理4.1.2的补充命题:设A=B1C1为ACrmn的满秩分解，则A=BC是A的满秩分解,当且仅当7CrrrzB=B2C=d1C1证:必要性由定理4.1.2给出.充分性.若存在使(*)成立,则B,C给出A的满秩分解：BC=B1C1=A.(*)4.2:矩阵的正交三角分解满秩矩阵的分解行(列)满秩矩阵的分解一般矩阵的分解满秩矩阵的正交三角分解定理4.2.17ACnnn都可唯一地分解为A=UR(或A=1U),其中UUnn,R(1)为正线上(或下)三角矩阵.证:(存在性)令A=(1,n),则1z.za线性无关，用Schmi

12、dt方法从O(1，an得标准正交组v1,vn满足a?a1=CI1v11an2=C21v1+C22v221Cii=iOn=CnIv+C2v+.+CnnvC21C22于是其中,U=(v1,Vn)为酉矩阵,R为正线上三角矩阵.CI1?A=(C(I,n)=(V1vn)?Cn1?Cn2?Cnn?=URz安徽大学章权兵3矩阵分析1=1,2=a2-(a2z1)(1z1)1,3=a3-(a3z1)(1z1)1-(a3z2)(2z2)2,.vi=(1i)i,i=ivi,i=1,2,a1=1=1v1;C11=1Oa2=(a2z1)(1z1)12=C21v1+2v2;C22=20正交三角分解唯一性证明定理4212A

13、Cnnn都可唯一地分解为A=UR(或A=1U),其中UUnn,R(1)为正线上三角矩阵(唯一性)设还有,Unn和正线上三角矩阵R使A=UR则有R=,R,?,*U=R,R-1=W矩阵W=U*UGUnxrvSW=RR-I仍然是正线上三角矩阵.(正线上三角阵的逆和积仍是正线上三角阵)于是,由p.162的引理3.9.1知W=E.即(,)*=R,R-1=E.由此式立即推出:U=UE=U&R=ER=R.得证唯一性.3=C31v1+C32v2+3v3;.C33=30正交三角分解下三角情形的证明定理4.2.1RACnnn者B可唯一地分解为A=1U,其中UUnn,1为正线下三角矩阵.证：7ACnnn?ATCnnn.存在唯一的U,Unn和正线上三角矩阵R,使AT=UR于是A=(AT)T=(U1R)T-RTUT=1Uz其中,U二UTUnn,1=RT为正线下三角矩阵.列(行)满秩矩阵的正交三角分解定理4222ACrmr(Crrn)都可唯一地分解为A=UR(A=1U)z其中UeUrmxr(Urrxn),R(1)为r阶正上线(下)三角矩阵(定理421为m=n=r时的特例)证:(存在性)令A=(a1,W)厕a1z.zar线性无关,用Schmidt方法求得标正组v1,vr满足a?ar2a1=C11v1=C21v1+C22v221CiiO.r=CrIv1+C