理 第11讲 等比数列 教案.docx

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1、第十一讲等比数列适用学科数学适用年级高三（理）适用区域通用课时时长（分钟）120知识点1 .等比数列2 .等比数列的前n项和教学目标1 .理解等比数列的概念和性质2 .掌握等比数列的通项公式和前n项和公式3 .了解等比数列与指数函数的关系4 .能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题教学重点等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点.客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等根底知识和根本性质的灵活应用，对根本的运算要求比拟高，解答题大多以数列知识为工具教学难点等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重

2、点.客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等根底知识和根本性质的灵活应用，对根本的运算要求比拟高，解答题大多以数列知识为工具教学过程一、知识讲解考点1等比数列定义讲解内容一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(/O),即：。用：4=4(40)数列对于数列(1)(2)(3)都是等比数列，它们的公比依次是2,5,-g.(注意：“从第二项起、”常数9、等比数列的公比和项都不为零)考点2等比数列通项公式讲解内容等比数列通项公式为：an=a.,70).说明：(1)由等比数列的通项

3、公式可以知道：当公比T=I时该数列既是等比数列也是等差数列；(2)等比数列的通项公式知：假设为等比数列，那么N1二夕”.考点3等比中项讲解内容如果在。与b中间插入一个数G,使,G,h成等比数列，那么G叫做。与b的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）.考点4等比数列前n项和公式讲解内容一般地，设等比数列4，生，/，（，,的前n项和是5“二弓+电+%+an,当41时$严一，）或S=444;当q=1时，5“=q（错位相减法）.1-q1-q说明：（1）%，4，,5,和4,4，43“各三个可求第四个；（2）注意求和公式中是g,通项公式中是不要混清；（3）应用求和公式时q1,必要时应讨论4

4、=1的情况.二、例题精析【例题1】【题干】“公差为O的等差数列是等比数列；“公比为！的等比数列一定是递减数列；“a,b,c三数成等比2数列的充要条件是b2=acw；a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c,以上四个命题中，正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】四个命题中只有最后一个是真命题.命题1中未考虑各项都为O的等差数列不是等比数列；命题2中可知a1+=anX1,aean未必成立，当首项a10时，a0,那么1aaa1,此时该数列为递增22数列；命题3中，假设a=b=O,ceR,此时有=c,但数列a,b,c不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，假设将条件改为

5、b=疝，那么成为不必要也不充分条件.【例题2】【题干】命题1：假设数列aj的前n项和Sn=a%b(aW1),那么数列W是等比数列；命题2：假设数列瓜的前n项和Sn=a2+bn+c(a0),那么数列区是等差数列;命题3：假设数列aj的前n项和Sn=nan,那么数列aj既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】A【解析】由命题1得,a1=a+b,当n22时,an=Sn-Sn-1=(a-1)小)假设瓜是等比数列，那么=a,即ST)=a,所以只有当b=-1且a#0时，此数列才是等比数列.a+h由命题2得,at=a+b+c,当n2时,an=SnSn-

6、=2na+ba,假设a是等差数列，那么a2-a=2a,即2ac=2a,所以只有当C=O时，数列aj才是等差数列.由命题3得，a产a-1,当n22时，a0=Sn-SnT=a-1,显然aj是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a-IWO；即a/1时数列a才又是等比数列.【例题3】【题干】1I)数列J,其中g=2+3,且数.列cn+-pcf1为等比数列，求常数0；(II)设&、是公比不相等的两个等比数列，。产为+4，证明数列c,J不是等比数列.【答案】I)片2或尸3(II)见解析【解析】I)解：因为(Chi-PGJ是等比数列，故有：(C+1夕。)2=(Cn+2pCf,+1)(G1PCn-J,

7、将a=2+3代入上式，得：2+,+3,ri-,-p(2rt+3a)2=2+2+3+2-p(2+,+3+,)23-p(2o-1+3n1)1,即(2-p)2+3-p)3口2=(2-p)2+(3一0)3+i(2-p)2-1+(3-p)31,整理得1(2-p)(3-p)-230,解得尸2或后3.6(II)证明：设&、#的公比分别为0、q,夕q,Crt=an+bft.为证a不是等比数列只需证o/Wg-q.事实上tCi=(a1p+bq)2=ai2p+bi2q+2abipq,CiCz=(a】+A)tap+bq=a1pZ2+aZ(p),由于夕Wq,p+q2pq,又囱、占不为零，因此Q12Wa,故心不是等比数列

8、.【例题4】【题干】如图，在边长为/的等边1比中，圆。为比的内切圆，圆与圆。外切，且与48,6。相切，圆”与圆。,外切，且与四、宛相切，如此无限继续下去.记圆。的面积为&sM),证明4是等比数列；【答案】见解析【解析】证明：记为圆。的半径，那么=1an300=11d=sin30o=,所以产,r(22.),26.1rt123于是a1=JrK=贮，乌=(-V=-,故a成等比数列.12*9【例题5】【题干】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.C“2IO50【答案】2,6,18或一，

9、.999【解析】设所求的等比数列为a,aq,aq2;2那么2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq+32)；解得a=2,q=3或a=,q=-5；故所求的等比数列为【例题6】【题干】正项数列4,其前项和S“满足IOS“=q2+5q+6,且4，生，阳成等比数列，求数列4的通项%【答案】an=5-3.【解析】：10S=aj巧&珀,.*.10a=a2+5a+6,解之得a=2或a=3.又IOSn-I=an-+5-+6(n22),由一得IOan=(a：an-J)+6(a1a1),即(at1+ac-)-a11-15)=0Van+an-0,an-af1-=5(n2).当33时,a3=13,ai5

10、=73,dita3,a15不成等比数列*a1K3；当a2时，taj-r12,15=72,有33i5,3-2,a-53.【例题7】【题干】设a为等差数列，ZU为等比数列，囱=8=1,/+国=4，ZA=色.分别求出晶及4的前10项的和SK)及710;【答案W-竽d=当尸与时=虻也=卫(2+&),282,0-q32当1孚时口。=处Q1=卫(2一历210-q32【解析】11)&为等差数列，ZU为等比数列，.在+国=2B11【解析】设公比为q,公差为d,等比数列1,田，陵，&,2,等差数列1,打,员,bn,2.那么4=a=1qA1=I-14=1g1/1又.皿2=1严|=2得严|=2,An=qqq=q=2

11、2(/7=1,2,3)2又F+2=1+(j+1)d=2.(?+1)/=13A=b=1+d艮=Z+6=1+d+1+2d属=1+d+1+d=-n2(II)AAB-当27时3证明：当=7时，2&s=8J=4Bn=-7,.Anff33B=-+-E222设当=4时,ABn,那么当n=k+1时，4+=22333又:AE=yi2-B,.=k+且A&Bk.*.4+t,yp2,ka+i222r3.3.3r13.3A.-i2-k一一=(2-1)-22222又Z=8,9,10.h8+0,综上所述,4无成立.【例题9】181【题干】公比为4(0q1)的无穷等比数列册各项的和为9,无穷等比数列。2各项的和为(I)求数列

12、%的首项和公比4；(H)对给定的欠伙=1,2,3,)，设Ta)是首项为外，公差为24一1的等差数列.求数列Ta)的前10项之和.()由(I)知，*=3x1,),所以数列7的的首项为“二和=2,公差d2a2-=3,So=12+gx1x9x3=155,即数列T的前10项之和为155.点评：对于出现等差、等比数列的综合问题，一定要区分开各自的公式，不要混清.【例题10【题干】aj是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项ar,a2,的最小值记为Bn,dn=An-Bn.假设瓜为2,1,4,3,2,1,4一，3,，是一个周期为4的数列(即对任意nM,af1+4=ar),写出d,ch,cb的值；(2)设d是非负整数，证明：d=-d(n=1,2,3,)的充分必要条件为aj是公差为d的等差数列；证明：假设a=2,dn=1(n=1,2,)，那么aj的项只能是1或者2,且有无穷多项为1【答案】(1)d=d=1,d=d=3.(2)见解析(3)见解析【解析】(1)d=d=1,d=d=3.(2)(充分性)因为a是公差为d的等差数列，且疟0,所以aa2.因此4=a,6)=&什1,4=&an+=d(,n=1,2,3,).(必要性)因为&=一四0(=1,2,3,)，所以An=BAdWBm又