立体几何第七讲空间角距离练习题含答案.docx

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1、第七节空间角距离(一)线面角一.选择题1 .把正方形沿时角线Ae折起,当以A,8,C,。四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线3。和平面ABC所成的角的大小为()A.90B.60C.45D.302 .把正方形四曲沿时角线，、折起，当以4,B,C,四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线劭和平面4%所成的角的大小为().A.90B.60C.45D.303.PA,PB,PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60,则直线PC及平面PAB所成的角的余弦值为()1 小小正A.-B0CoD02 2334 .设,户是正方体力G的棱和。C的中点，在正方体的12条面对角线中，及截面4螂成60角的对角线的数目是()A.

2、0B.2C.4D.6二，填空题5 .正四棱锥所力腼的所有棱长都相等，E为PC中点,则直线4C及截面A如所成的角为.6 .已知正三棱拄ABC-ABG的所有棱长都相等，D是AC的中点，则直线AD及平面Bj)C所成角的正弦值为.7 .棱长都为2的直平行六面体ABCD-ABGD1中，NBAD=60,则对角线乐C及侧面DCCD所成角的余弦值为.三.简答题8.如图，四棱锥尸一A3C。中，底面ABCQ为菱形，PAJ_底面ABCD,AC=22,PA=2,E是PC上的一点,PE=2ECa(I)证明：PC上平面BED；(II)设二面角A-PB-C为90,求尸。及平面PBC所成角的大小。9 .如图，在四棱锥P-AB

3、CD中，底面ABCD是矩形，DPD,BC=I,PC=2y3,PD=CD=2.(I)求异面直线PA及BC所成角的正切值；(II)证明平面PDC_1_平面ABCD；(III)求直线PB及平面ABCD所成角的正弦值。10 .如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-ABCD中，ADBC,AD1AB,AB=2oD=2,BC=4,=2,E走DD1的中点，F是平面B1C1E及直线AA1的交点。(1)证明:(i)EFAD;11 i)BA平面BCEF；(2)求BG及平面BCEF所成的角的正弦值。11.如图，四棱锥尸一ABC。的底面是正方形，PoJ底面ABCD,点E在棱PB上.(I)求证：平面AEC1平面PD5:

4、(H)当尸D=J43且E为PB的中点时，求AE及平面PDB所成的角的大小.(二)面面角2.3.如图，在长方体力阳9一力血G中，AB=2,BR=BC=3/为C的中点,1 .如图，在底面为平行四边形的四楂锥P-A3C1h3AB.1AC,PAV连结被EC,EB和DB.(1)求证：平面尻B_1平面阳G(2)求二面角后一如一。的正切值.4 .如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-4M9中，AD/BC,ABC=90,S1_1_面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=-.2(1)求四棱锥力阳9的体积；(2)求面SC及面S弘所成的二面角的正切值.(提示：延长BA,CD相交于点E,则直线SE是所求二面角的棱.)(第

5、4题)5 .如图，三棱锥P-ABC中，PC1平面ABC,PC=C=2,AB=BC,D是PB上一点,且CDJ.平面PAB.(1)求证:AB_1平面PCB；(2)求异面直线AP及BC所成角的大小；(3)求二面角C-PA-B的大小的余弦值.6 .如图所示，已知在矩形/四中，AB=I,BOaQQO),*_1平面且*=1(1)试建立适当的坐标系，并写出点凡B、。的坐标；(2)问当实数a在什么范围时，犯边上能存在点0使得0_13?(3)当a边上有且仅有一个点。使得B213时，求二面角。畛/的余弦值大小.DAB=BC=CA,点P在平面7 .如图，在底面是棱形的四枝锥尸-AHCD中，ZABC=60,PA=AC

6、r.且PE：EO=2:1.证明PA1平面448；(2)求以AC为棱，EAC及DAC为面的二面角8的大小；(3)在棱PC上是否存在一点F,使8/平面AEc?证明你的结论.8 .已知四棱锥S-力四9的底面力成是正方形，S11底面ABCD,/是SC上的任意一点.(1)求证：平面被小平面G(2)设义=4,AB=2,求点月到平面湖的距离;CA(3)当疝的值为多少时，二面角SC-的大小为120?9 .如图，在三棱锥产一ABC中，ZAPB=90,ZPAB=60,ABC内的射影。在AB上。(I)求直线PC及平面ABC所成的角的大小；(II)求二面角3AP-C的大小。10 .已知直三棱柱48C-AMG中，A8=

7、4,AC=BC=3,。为AB的中点。(I)求异面直线CG和AB的距离；(H)若ABxAyC,求二面角A-CD片的平面角的余弦值。第七节空间角距离答案(一)线面角一。选择题1,C解析：当三梭锥A4T体积最大时，平面以d4T,取/C的中点0,则是等腰直角三角形，即/颂=45.2.C当三棱锥。一ABC体积最大时，平面DACJ.ABC,取AC的中点。，则aQBO是等要直角三角形，即/080=453,D4,C二。填空题435.4506.-7.54三.简答题8,【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，

8、并加以证明和求解。解：设ACBD=O,以O为原点、,OC为X轴，0。为轴建立空间直角坐标系，则(-2,0,0),C(2,0,0),P(应,0,2),设5(0,-a,0),D(OM,0),E(x,y9z)。(I)证明：由PE=2EC得E吟,0,专，所以PC=(20,0,2)，BE=庄,金，BD=(0,2d,0)，所以PCBE=(22,0,-2)(y-,)=0.PCBD=(22,0,-2)-(0,2,0)=0所以PC工BE，PC上BD，所以PC_1平面BEO；()设平面Q钻的法向量为=(X,y,z)，又42=(0,0,2),48=(0,。,0),由“4P=0,A8=0得=(1,也,0)，设平面PB

9、C的法向量为%=Cr,y,z)，又aBC=陋,a,CP=(-2五,0,2)，由m8C=0,mCP=0,得根二Q,也，应),由于a二面角A-尸B-C为90所以=0，解得a=应。所以PO=(JW,形,一2),平面PBC的法向量为加=。,一1jW)，所以/7)及平面PBC所成IPDm1K角的正弦值为J1=一，所以PQ及平面MO所成角为一.IPDn26【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目及我们平时练习的试题和相似，底面也是特殊的菱形，一个侧面垂直于底面的四极锥问题，那么创新的地方就是点E的位置的选择是般的三等分点，这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好。

10、9,【解析】(I)AD/BC=/PAD是PA及BC所成角在AfP中，AD1PDyAD=BC=VPD=I异面直线PA及BC所成角的正切值为2(IDADIPDyADYDC,PDOC=O=Ao!.而PoCADU面ABCD平面PDC_1平面ABCD(III)过点尸作尸_1CZF点E,连接BE平面PDC平面ABCD=PE_1面ABCD=ZPBE是直线PB及平面ABCD所成角在RiABCE中,BE=yBC2+CE2=K)=PB=BE2+PE2=13ppJ39在RIABPE中,SmNPBE=-PB13J39得：直线PB及平面ABCO所成角的正弦值为二一1310,【解析】因为G4/AQ,C1B1U平面ADD1

11、A所以Gg/平面ADD1A1又因为平面BCEF平面ADD1A1.EF,所以CiBJ/EF.所以AiDJ/EF.(ii)因为8q_1_4与。10,所以BB11B1G,又因为BB114A，所以B1C11ABB1A1,在矩形A3841中，F是AA的中点，即tan幺8/=tanNAAjB=Z1B,F=ZAA1B,故BA1BIF.(2)设BA1及B1F交点为H,连结G”.由(1)知MGE/，所以N8C是BG及平面MGE尸所成的角.在矩形A88A中，B=2,4r4AA=2,得BH=正在直角aBG中，BC,=23,BH=而得BHJ3()J。sinZBCH=X-，所以BC及平面B.C.EF所成角的正弦值是-B

12、G151511.证明：(I)四边形ABCD是正方形，AC_1BD,PDAC,工AC，平面PDB,平面AECJ_平面Po3.(II)设ACnBD=0,连接OE,由(I)知ACJ_平面PDB于0,.ZAEO为AE及平面PDB所的角，0,E分别为DB、PB的中点,OEPD,OE=-PD,又PD1底面ABCD,2.OEJ1底面ABCD,OE1AO,在Rt2aoe中，OE=1PD=立AB=AO,22.N4OE=45,即AE及平面PDB所成的角的大小为45.,(-)面面角1【解】(1)PAJ1平面ABCD,.AB是PB在平面ABCD上的射影,又AB1,AC,ACU平面ABCD,ACPB.(II)连接BD,

13、及AC相交及0,连接E0,.ABCD是平行四边形.0是BD的中点又E是PD的中点，EOPB.又PB(Z平面AEC,EoU平面AEC,.PB平面AEC,(III)如图，取AD的中点F,连EF,F0,则EF是aPAD的中位线，EFPA又PAJ_平面A3C。，EF平面438同理FO是AADC的中位线，FO/ABFOAC由三垂线定理可知EoF是二面角E-AC-D的平面角.又FO=-AB=-PA=EFo22EOF=45而二面角EAC3及二面角E-AC-D互补,故所求二面角E-AC8的大小为1352,证明：取回中点0,连结/0,D0.,ABC,zi武力都是边长为4的正三角形,：.AO1BC,DO1BC,且

14、月On%=0,.6d平面月阳.又平面力如，：.BC1AD.(第2题)解：由知N力划为二面角力一比一的平面角，设N力勿=,则过点作血月，垂足为必！平面力必且比U平面力始，平面皿城平面ABC.又平面ADOC平面ABC=AO,血平面力必线段史的长为点。到平面/!蔗的距离，即加3.又Do=9=23,2rph在Rt应0中，sin=,DO2故二面角力一仇7一的正弦值为.2(3)当=90时，四面体/眼力的体积最大.3,证明：(1)在长方体力飨9-4劣C中，A=2,BB=BC=k为6的中点.，纵E为等腰直角三角形，NO折45.同理NGP45.,.NDEC=90。，即应，C.在长方体ABCD-A4GA中，8c1平面D1DCC1,又应u平面D1DCC1,：,BC1DE.又反8C=C,瓦1平面战Y平面板过，平面庞瓦1平面时(2)解：如图，过后在平面AOCG中作Ea1%于。在长方体ABCD-A4GA中，;面ABCD_1面OQCc,，EO1面力8微过0在平面DBC中作0F1DB于F,连结EF,：.EF1BD.NEFo为二面