微分方程数值解法李荣华3版第二章习题答案大.docx

上传人:lao****ou 文档编号:578726 上传时间:2024-02-09 格式:DOCX 页数:21 大小:143.07KB
下载 相关 举报
微分方程数值解法李荣华3版第二章习题答案大.docx_第1页
第1页 / 共21页
微分方程数值解法李荣华3版第二章习题答案大.docx_第2页
第2页 / 共21页
微分方程数值解法李荣华3版第二章习题答案大.docx_第3页
第3页 / 共21页
微分方程数值解法李荣华3版第二章习题答案大.docx_第4页
第4页 / 共21页
微分方程数值解法李荣华3版第二章习题答案大.docx_第5页
第5页 / 共21页
亲,该文档总共21页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述

《微分方程数值解法李荣华3版第二章习题答案大.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《微分方程数值解法李荣华3版第二章习题答案大.docx(21页珍藏版)》请在第一文库网上搜索。

1、第二章习题课(2007.4.28)习题1求两点边值问题1uu4u=Zsin,0工1,42(1.1)u(0)=0,(1)=0的线性有限元解函数(区间等距剖分成2段或3段),要求在计算总刚度矩阵和总荷载向量时,所涉及的定积分用两种方法:1 .精确求解;2 .用中矩形公式近似计算。解:第一步:写出原问题(11)的等价变分形式(基于虚功原理)试探函数空间和检验函数空间均为:H1e(I)=uuH13)=0.在(11)的第一个式子两边同时乘以检验函数空间H()中的任意元素再在区间/=(0,1)上积分,可得2(1.2)-uttvdx+uvdx=2sinvdxJoJo4Jo2其中f1分部积分f1-yuttvd

2、x-utvdx-vut0=ufvfdx-v(1)wr(1)-v(O)wr(O)j0(1.3)=ufv,dxJo将(1.3)代入(1.2),可得21J。(M+-uv)dx=2Jsinvdxq(4,v)=/)(/+wvXx小)=2j;.x,sinvdx2则可以得到原问题(1I)的等价变分问题:求沙:(/),使得=/(v),PVeHTE(I).(1.4)第二步:线性有限元空间的构造1网格剖分(这里以等距剖分3段为例)2. 一次1agrange有限元空间的定义V=uhC(Z):uhePxeii=12,3,%(O)=O.1agrange节点基函数的构造3劭(X)=Z必(x)(15)7=1第三步:写出线性

3、有限元方程将原变分问题(14)中(/)的试探函数子空间和检验函数子空间均取为匕,则可以得到原问题(11)的近似变分问题:求%”,使得aM%)=f(%),VyhGV1(1.6)利用(15)并将Vh取为4(x),i=1,2,3则上述近似变分问题等价于求”1,”2,”3R,使得3O(Z勺a,4)=/S)=1,2,3;=13OEa(I)V(I)JUj=以岭,i=1,2,3J=I3Oa,()j)Uj=i=,2,3J=I写成矩阵形式AU=b其中(AM)(A,0)a(,J。(。2,。2)(。2,A)a电,归。(。3,。3)w1U=U2_3其中(a)精确求解/()b=f2)/W以Si,必)和/)的计算为例:2

4、M)=Ka)2+亍婿9=J2-=p32+Jo42 21+aw2+-13 422(3x)2心+R(3)2+(2-3x)2d=.-1T(。1,4)=。(。2,。)=,Q(O1,。3)=。(03,01)=,。(。2,圾)=。(。2,。3)=(。3,。2)=,。(。3,。3)=/S)=2sin=2PSinJoxxdx2(x)dx+2psin(2-3x)dx=(b)中矩形公式近似求解bc+b,g(x)公S4)g(-r)以a3,j和以G)的计算为例:(如域):32+(3!)2+4(_3)2+(2_3)2346342z?O1/Cn、1/C乃、二一(9+)+-(9+)3163162TC1=-(9+-)316习

5、题2.导出下面边值问题rd/du、.f1u=(P)+qu=九axbdXdX(2.1)u(a)+axu(a)=x,u(Z?)+a2u(b)=?的线性有限元方程。解:第一步:写出原问题(2.1)的等价变分形式(基于虚功原理)试探函数空间和检验函数空间均为:H(I),I=Mb).在(2.1)的第一个式子两边同时乘以检验函数空间/(1)中的任意元素再在区间/=3份上积分,可得Sbdd11fbrb(2.2)-(P)vdx+quvdx=fvdxJe1dXdXJaJ。其中-C-(p-)vdxJadxdx分部积分,b,=puvdx-pvuJafib=puvtdx+p(a)v(d)u,(a)-p(b)v(b)u

6、,(b)a=IPUVdX+pdvdx-axud)-p(b)v(b)0?-%(/?)(2.3)将(2.3)代入(2.2),可得b(pu,v,+quv)dx+a2PS)HS)VS)-a,p(a)u(a)v(a)arb=找dx+zP(b)v(b)-p(a)v(a)记af,a(,v)=I(puV+quv)dx+a2p(b)u(b)v(b)aip(a)u(a)v(a)Cb/(v)=WdX+2P(b)v(b)-p(a)v(a)则可以得到原问题(2.1)的等价变分问题:求(),使得(2.4)(#)=/(V),VvH1()第二步:线性有限元空间的构造1 .网格剖分给定/的一个任意剖分:a=x0xi-xnxn=

7、bX0x1x2yn-1Xn记第i个剖分单元ei=xi,xi,4=七一七T为第i个剖分单元的剖分步长。2 .一次1agrange有限元空间的定义V=mC(7):%1,G片(令),i=1,2,.4.1agrange节点基函数的构造X1X-XqI,xaxx(I)O(Q=%0,在别处x-xi-/-,X.xXi1711IhiXX-%)=1-二XiXXi+1%0,在别处当xZ在别处4.空间M中元素的表示记Ui=Uh(X),i=/,2,,则对勾V,有Uh(X)=EUjG(X)J=O(2.5)第三步:写出线性有限元方程将原变分问题(2.4)中()的试探函数子空间和检验函数子空间均取为V,则可以得到原问题(2.

8、1)的近似变分问题:求Uz,使得。(以,乙)=/(乙),wzey(2.6)利用(2.5)并将1取为4(x),i=0,1,2,则上述近似变分问题等价于求0,4”2,R,使得/j,6J=f(j,i=0,1,2,侧)*)%=f3),i=0,1,2,a(i,j)uj=f(iz=0J,2,J=On7=0nJ=O写成矩阵形式AU=b其中。(。(),4)。(4),必)a(G)O(落裔)(如4)a(vn)(或M)a电,(I)D(裔,裔),+i)xgi)“0f()/M)f(n)习题3.导出非齐次两点边值问题,d/du、r11u=(P)+qu=九axb(3.1)dxdxU(O)=a,ur(Jb)+3u(b)=的线

9、性有限元方程组。解:方法一:先将两点边值问题(3.1)齐次化。令VV(X)=(X)-a,则原非齐次两点边值问题变成如下齐次两点边值问题:rd.dwxr11w-(P)+qw=J-ocq.axbdxdx(32)w(a)=O,w,(b)+w(b)=/-a方法二:分三步来导出两点边值问题(3.1)所对应的线性有限元方程组。第一步:写出原问题(3.1)的等价变分形式(基于虚功原理)试探函数空间:U=uueH(/),u(a)=a检验函数空间:V=vvH1(),v(a)=O)在(3.1)的第一个式子两边同时乘以检验函数空间V中的任意元素y,再在区间/=(区。)上积分,可得Pbddt1PbPb(3.3)-一(

10、P)vdx+quvdx-ffvdxjadxdxJaja其中chddu分部积分rb1-p-)vdx=puv,dx-pvu,=putv,dx-PS)y(b)u(b)=puv,dx-p(b)v(b)一u(b)JaSb=puv,dx-Ps)VS)+p(b)u(b)v(b)Ja(3.4)将(3.4)代入(3.3),可得f(pufV+quv)dx+p(b)u(b)v(b)=ftfvdx+p(b)v(b)JaJaaa(u,v)=(pu,vr+quv)dx+p(b)u(b)v(b)/(v)=fvdxp(b)vb则可以得到原问题(3.1)的等价变分问题:求4U,使得au.v)=f(yvV.(3.5)第二步:线性

11、有限元空间的构造1 .网格剖分给定/的一个任意剖分:a=x0xixn_xn=bI111I%x1x2Fn-IXn记第,个剖分单元ei=%-1,Xi,hi=Xi七_为第,个剖分单元的剖分步长。2 .一次1agrange有限元空间的定义Ub=UhC(7):uhePi(eiZ=1,2,.,n,u1t(d)=2;%=以C(7)vhe6(,),i=1,2,凡vh(a)=O.1 1agrange节点基函数的构造2 -,x0XX1。0(X)=%O9在别处ZTX%在别处Xf1裔(%)=j,G)=ja)-aa电,j,i=1,2,.J=IOZa3j,)1Ij=f(i)-aa(t0,i),,=12/j=1。ZCISi,ZM=)-aa(a,),,=1,2,/j=写成矩阵形式AU=b其中a,ja归QMM)。(我,。1)。(0,。2)。(。2助)A=,Ux(-,0)a(n,2)an.n)jj-aa(o,jf(D./(以)习题4.设是两点边值问题_d/du、r71u(P)+qu=j,axbdxdx(4)u(a)=O,u(b)=O的二次连续可微解。试证:线性有限元解即一致收敛到,且收敛阶为O(Z1)o证明:因为解“二次连续可微,所以由教材P.41的(2.2.12)仙一/1

展开阅读全文
相关资源
猜你喜欢
相关搜索

当前位置:首页 > 应用文档 > 工作总结

copyright@ 2008-2022 001doc.com网站版权所有   

经营许可证编号:宁ICP备2022001085号

本站为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,本站只是中间服务平台,本站所有文档下载所得的收益归上传人(含作者)所有,必要时第一文库网拥有上传用户文档的转载和下载权。第一文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。若文档所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知第一文库网,我们立即给予删除!



客服