第四讲 基本初等函数.docx

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1、第四讲基本初等函数一、知识梳理1 .指数与对数的概念ab=Nb=1ogfzN(a0,1)2 .指数与对数的性质指数运算性质优=+(0,r、sQ),(优)，=a、。0,八sQ),(力/=优br(00,0Q)(注)上述性质对r、sR均适用.对数运算性质IOg“MN=IogaM+1og“NIOgaN=IogM-1og“N(3)IogwMn=nogaM(M、N0,a0,a1)推广：1og”,M=巴1og.Mam0N换底公式：1OgaN=(a,b0,ay?1)3 .指数函数、对数函数的概念形如y=。0且1,X0)叫做指数函数(exponentia1function),其中X是自变量，函数的定义域为R.形

2、如y=k)g.X(。0且。声1,X0)的函数，叫做对数函数(IOgarithmiCfUnCtion).(1)指数函数、对数函数的定义是一个形式定义，注意指数函数与幕函数的区别；(2)注意底数的取值范围.4 .指数函数、对数函数的图像和性质(略).5 .蹇函数（1）基函数定义：一般地，形如y二x”（R）的函数称为基函数，其中为常数.（2）幕函数性质：所有的幕函数在（O,+）都有定义并且图象都过点（1,1）；0时，帚函数的图象通过原点，并且在区间0,+8）上是增函数.特别地，当1时,哥函数的图象下凸；当OVaVI时，基函数的图象上凸;VO时，塞函数的图象在区间（O,+8）上是减函数.在第一象限内，

3、当X从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当X趋于+8时，图象在X轴上方无限地逼近X轴正半轴.二、方法归纳1 .解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2 .指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1,要注意对底数的讨论；3 .比较几个数（塞或对数值）的大小的常用方法有：以。和1为桥梁；利用函数的单调性；作差.4 .指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的友合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径.三、典型例题精讲【例。比较下列各数的大小：kg235,fY,25,Ig15,23解析：峪0.350，其他各数都大于零,故bg2035最

4、小;又Ig1O=1Ig100=2,K1g151g252b00.761,Iog0760,A1og0760.76Iog071.1Iog071.2.Iog110.7(1-a)bB.(1+a)11(1+b)hC.(1-ab(1-a)2D.(1-a)a(1-b)b解析：v(1-b)v(1-)vi,又函数y=(1为减函数，y=x“在(M)上为增函数，(1-y,(1-)0,。1)在区间-1,11上的最大值为14,求的值.解析：.y=(+1)22=(+1尸一2,又一1x1,当时，ue-iafw-1,(u+1)2-2为的增函数.a函数的最大值为14=a?+2。-InQ=3或。=-5(舍)当OVa=痴=一一(舍)

5、IaJaj35综上得，。=或4=3.3技巧提示：指数函数与二次函数的复合函数，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径又例：已知f(x)=1g4(2%+3-X2).求(1)/(幻的单调区间；(2)求函数/(JO的最大值及对应的X的值.解析：(1)由2x+3-o,得/(X)的定义域为(T,3),i1u=2x+3-x2=(X1)2+4,对称轴为X=1,/Cr)的增区间为(-1,1】，减为区间1,3).(2),.*w=(x1)24-,：.a.22当OVaV1时，IOgaX是减函数，于是a,：.0a1或OVaV3再例：解不等式1og1(a2x-2ab)x-b2x+)0,匕0).2解析：由1og(a2x

6、-2()x-从工+1)0,即(怖)一2序-10.，)1+或b时，x1ogf1(1+V2)；b当Vb时，XVIoga(1+扬；当。=力时，不等式无解.例4函数y=1og,(-X2+2x)的单调递增区间是.2解析：由-2+2x0,得0则=-()2.4u=-X2+3x-9的单调递增区间为(一8,一)2/1、-f2+3x-9z-u有y=匕J=是的减函数，(1-+3x93Ay=-I的单调递减区间为(一8,/).再例：已知G0且G#1,函数/(X)=IogaX在定义域2,3上的最大值比最小值大1,则。的值为.323解析：由题意，有|1og431og02=1,即IOga5=1,.=1,【例5】当时，证明函数

7、/(幻=IiI是奇函数.a-1解析：由优一10得X0.故函数定义域xIXO)是关于原点对称的点集.又/(一幻=F(尸+1)4_1+/_ax+ax-Y)ax-axax-f()=ax+ax-/+1f(-x)=-(x).所以函数/(X)=是奇函数.a-1技巧提示：对于指数形式的复合函数的奇偶性的证明，在判定了(-幻与/1)关系时，也可采用如下等价证法.(X)O瑞=),。箫=T如本题可另证如下:即/(一幻=-/(x)，f(-x)4-+1_1优一二1*/(x)ax-ax+ax-ax-Cix+1所以函数/(x)=F是奇函数.a-12又例：设。是实数，/*)=-(XER)2+1(1)试证明对于任意。，为增函

8、数；(2)试确定。值，使/(幻为奇函数.解析：(1)设芯,weR,且匹+2+122-2J12v,+12(2M-22)(2,+1)(22+1)由于指数函数y=2、在R上是增函数，且匹V/,所以2怎2必，即2*2必0得2+10,2.+10,所以/区)一/()0.即/(芭)0,at比较IIOga(I-X)I和11og”(1+刈的大小.解析:方法一:当时,I1Oga(I-X)I-I1oga(I+x)I=-IOga(I-X)Iog“(1+X)=-1og(1-x2)0,1og(1-x)1ogf1(1+x).当OVaV1时，k)g0(1-刈-I1Ogaa+x)=1og(1-x)+IOga(I+X)=IogJ

9、1-x2)0,Ibga(IT)I|1Oga(1+刈.综上所述，在题设条件下，总有1og.(1-x)gg.(1+jO.方法二：g+=1g(i+x)-)=_1ogs)(1_X)=bg(i+x)匚1+X=Ioga+x)：Tbg()(1+x)=11-X|1oga(1-x)|1og/1+x)|.技巧提示：比较大小通常采取作差一变形一判定符号.如果比较两个正数的大小时，亦可采取作商一变形一与“1”比较的办法.又例：解不等式Iog8(+3)1og2+1)x103x+2x20解析：原不等式可化为(x+10X3+x+3(x+1)3x-j即1一1一5-1+7,解得：一,-X:3【例7】已知1og?=。，1og37

10、=Z?,用4,Z?表示1og4256;(2)己知1ogx=2,1ogX=3,IOgXC=6,求Iogf16c戈的值.S1/,Xi号Ig56Ig7+31g2解析：(1)Iog4756=,2Ig421g71g2+1g3又黑=。，普=b=1g7=Rg3,1g2=3,Ig2Ig3aMg3+./?+-,1og?56=q-=:+Ig3,111ab+a+11g3+-+1g3Z?+1+aa(2)Va=x21b=x3,c=x6,，1og成x=1og/x=(.技巧提示：掌握对数与指数的运算性质，是本部分的基本要求.尽管近几年高考中很少直接考查对数与指数的运算，但由于指数函数与对数函数几乎是必考内容，不能熟练的进行对数与指数的运算，会影响解题技巧的把握，至少会影响解题速度.又例：判断下列函数的奇偶性(1)/()2x-12r+1(2)g(x)=In(X+Jx+1).X+1解析：(1)f-x)=2+1(2T-I)2(2v+1)21-21+22t-12v+1=-/()，：./(x)为奇函数.(2)g(r)+g