1819 25 直线与圆锥曲线.docx

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1、2.5直线与圆锥曲线学习目标：1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系.(重点)2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题.(重点、难点)自主预习探新知1 .直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程加十区+c=0.方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a0fJ02相交a0fJ=O1相切oW0,/VO0相离直线与双曲线a=01直线与双曲线的渐近线平行且两者相交a0fJ02相交Q0,J=O1相切a0fJ02相交a0f4=01相切a0,/V00相离思考：直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？提示不一定，当直线与双曲线

2、的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交.2 .弦长公式当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题,弦长公式为:若直线/的斜率为此与圆锥曲线。交于A(x1,),B(X2,”)两点，则IAB1=W+F,2=(1+2)(xi+x2)2-4X2=j1+pbj-y2=y+(3jy2)2-4yy2.基础自测1 .思考辨析平面上到定点A(1o)和到定直线x+2y+3=0的距离相等的点的轨迹为抛物线.()(2)一条直线与双曲线的两支交点个数最多为2条.()(3)抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相

3、切的充要条件.()提示(1)(2)(3)必要不充分条件.2 .若直线y=kx+1与椭圆弓+=1总有公共点，则m的取值范围是()A.mB.或OVmV1C.0VzV5且m1D.用21且m5D直线y=Ax+1恒过定点(0)，当(0,1)在椭圆上或椭圆内时直线与椭圆总有公共点.9?2.ym1,解得机21.当7=5时表示圆.故选D.3.若直线X=。与双曲线y2=1有两个交点，则。的值可以是()A.4B.2C.1D.-2X2CA因为在双曲线了一y2=1中，x22或Xw2,所以若x=a与双曲线有两个交点，则2或V-2,故只有A符合题意.合作探究攻重难W直线与圆锥曲线的位置关系探究问题1直线与圆锥曲线相交时，

4、能用两点间距离公式求弦长吗？提示可以.当直线与圆锥曲线相交，两交点坐标好求时，可先求出两交点坐标，用两点间距离公式求弦长；当两交点坐标不便求出时，最好不用此法.例直线y=mr+1与椭圆f+4y2=1有且只有一个交点，求病的值.思路探究联立方程组，消元后利用判别式求解.y=mx+1,解1由2一21消去y整理得+4=1,(4w2+1)x2+8x+3=0,由J=64n2-12(4w2+1)=0,3得加2=不母题探究：1.(改变问法)典例中若直线与椭圆相交，弦的中点的轨迹方程是什么？解设直线与椭圆交点为A(X,),B(x2t沏,AB的中点坐标为Ma,y)9y=mx+1,由21消去y整理得Ix2+4/=

5、1(4w2+1)x2+8mr+3=0,.X+X2-2x-8机即X=-4位4n2+1,4n2+1824/1y-ry2-2y-4/n2+12，y44+14m2+1*由得=-4加，y又点(x,y)在直线y=wx+1上，V1所以ZM=:，由得2+4-4y=0,所以弦中点的轨迹方程为A2+%?-4y=0.2.(改变问法)典例中若直线与椭圆相交于A,B两点,求弦HB1的长.解I设4(x,y),B(x2fy2)ty=mx+1,卜+4尸消去整理得(4w2+1)2+8wx+3=0,J=16tm2-120,解得机V或加方-,QQ由根与系数的关系得为+2=-y1,2=-,4川+14厂+1.,.AB=y(xx2)2+

6、(y1-yif=(1+2)(xi+%2)2-4X1X2J(i+4(Ft.=遍亘皑三斗_近或心叫4w2+1Iw2或加2J规律方法直线与圆锥曲线位置关系的判断方法提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.1W2禄f獭及嗝丽题例目椭圆加+by2=1与直线x+y-1=O相交于A,B两点,C是AB的中点，若A8=2OC的斜率为坐求椭圆的方程.【导学号：33242204思路探究本题有两种解法.一是利用设点、代入、作差，借助斜率解题的方法，可称为“点差法”.二是利用圆锥曲线弦长的基本求法，先利用两点间距离公式求出含m匕的关系式，再借助弦所在直线的斜率求解.解法一：设Aa1,y),8(x2f”)，代入椭圆方程并作

7、差，得(x1+x2)(x1X2)+b(y+y2)(y1y2)=O.二男一”1y+2应而=-1,-T-koc=O,XX2X1-X22代入上式可得力=也%VAB=2x2,xI=22,P(x2-x)2=4,其中加，及是方程(a+。)*2法Z?-1=0的两根，又,.（X1+X2）24X1X2=（X2X1）2=4,2b-4J=4.a-vb将人=啦Q代入，解得O=/,=半,X22所求椭圆的方程是经+罟/=1.3j法二：由ax1+by2=1,.+y=1,得(+W?2法+力一1=0.设4汨，y),B(x29y2)f=2、/4炉4(+b)(b二15则IAB1=(2+1)(x-X2)2a+b/-yja+b-abV

8、AB=22,.va+h-=1.,rt,1x+x2b仅C(xfy)f则X=-2-=+/产1k2。的斜率为勺，,花一2，代入，解得。=；,力=坐%2S所求椭圆的方程是全+老尸=1.-规律方法直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要脸证得到的直线适合题意.跟踪训练1.已知点A(1,0),5(1,0),直线AM,8M相交于点M,且如人XZcmb=一(1)求点用的轨迹。的方程;求直线过定点(0,1)作直线PQ与曲线。交于P,Q两点，且IPQ=乎,PQ的方程.解I(1)设M(X,y),kMB=f

9、1(X中土1)，人！q-义上=一?+1-11=1(x1).显然不(2)当直线尸。的斜率不存在，即PQ是椭圆的长轴时，其长为2啦,合题意，即直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程是y=kx+1,PaI,y),to,ya),则y-y-kx-i),联立，x2+%1,j=x+1,消去y得(S+2)f+2日一1=0.VJ=4Ar+4(Ar+2)=8(Ar+1)0,.ZR,2k_汨+x2F+2，X1X2一炉J2,PQ=(xX2)2+(,1J2)2=(1+Ar)(x+x2)2-4X1X2.pn-h2-0”+iPQ-2-22,启+2,F=2,k=21：.直线PQ的方程是y=2x+1.圆锥曲线中的最值及范围问题7

10、2例EJ已知双曲线C，一g=1(O,b0)的焦距为3其中一条渐近线的方程为x5y=0.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E,过原点。的动直线与椭圆E交于A,B两点.(1)求椭圆E的方程；若点P为椭圆上的左顶点，pg=2GO,求IaI2+F的取值范围.【导学号：33242205解(1)由双曲线A-W=I的焦距为3啦，得C=乎，9a1+b2=2由题意知=坐-3由解得2=3,力2=会X22，椭圆E的方程为1+1y2=1.(2)由知P(一5,0).设Ga0,yo),由PG=2G。，得(xo+5,yo)=2(-刈，一为).xo+3=-2xo,即JJo=-2/，设Aa1,y）,则8（为，y）,I

11、GAF+GB2=Q+坐下+）彳+（口）+y?=2+2y，+=2x?+3x?+|=+Vx1-3,3,0,3,33J规律方法(1)求参数范围的方法据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围.(2)求最值问题的方法几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决.代数法题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等.跟踪训练2.已知椭圆Cx2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设。为原点，若点4在直线y=2上，点8在椭圆C上，且OA_1OB,求线段AB长度的最小值.解(1)由题意，椭圆C的标准方程为5

12、+5=1.所以/=4,b2=21从而?=2一序=2因此=2,c=y2.故椭圆C的离心率e=z=旨.(2)设点A,B的坐标分别为82),(xo9yo)9其中xoO.因为。4_1o8,所以0408=0,即m)+2yO=0,解得r=-3.又看+2yg=XO4,所以HBF=o-f)2+(yo-2)2=(xo+等2+002)2=8+y8+鬻+4=焉+4一焉2(4焉)68z丁+f-+4=爹+京+4(OV8W4).Y?X因为5+724(OVJW4),当且仅当看=4时等号成立，所以HBI228.乙人O故线段AB长度的最小值为2当堂达标固双基1 .直线y=kx+1与椭圆4x2+=1的位置关系是()A.相交B.相

13、切C.相离D.相交或相切D直线y=x+1过定点A(OJ),而4在椭圆4x2+y2=1上，故直线y=Ax+1与椭圆相切或相交.2 .直线y=区-2交抛物线V=8x于A,B两点、,若AB中点的横坐标为2,则k等于()A.2或一2B.-1C.2D.3y2=8x,C由j得QP-4(A+2)x+4=0,y=x-24仅+2)则一，=4,解得2=2(Z=-I舍去).3.已知双曲线CX2-J=I,过点P(1,2)的直线/,使/与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线/共有()【导学号：33242206A.1条B.2条C.3条D.4条B因为双曲线的渐近线方程为y=2x,点P在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(1,0),所以过点P且与双曲线相切的切线只有一条.过点尸平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条.4.若直线y=A-1与双曲线x2y2=1有且只有一个公共点，则A的值为99