大一高数期末复习重点.docx

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1、第一章极限与连续极限存在准则调且警、有极限1夹逼定理sinx ik=l两类重要极限lim(l + )x = e%.8X无穷小性质（有限个无穷小的和，积仍是无穷小“无畲义与有界量的积仍是无穷小与无穷大I（高阶，低阶，同阶,等价,k阶）常用等价无穷小e x1 xsin% xtanx xln(l + 2)%x21 -cosx 一2当 x f 0,ax 1 In aarcsin x xarctan x x(1 + x)a -1 axtan x - sin x -2消去零因子法；(2)同除最高次塞；(3)通分;(4)同乘共辗因式；(5)利用无穷小运算性质(6)复合函数求极限法则利用左、右极限求分段函数极

2、限；(8)利用夹逼定理；(9)利用两类重要极限;(10)利用等价无穷小代换;(11)利用连续函数的性质(代入法);(12)利用洛必达法则.lim Jl + tan% Jl + sinx八tan xsin xe -e= limxf 0tan x sinx(V1 + tan x + V1 + Sin x )(etanx - esinx)= lim tan x - sin x _ lim tan x - sin x2x0 etanx- sinx _2xo esinx(etanx-sinx-l)当 x f 0, etanxsinx-1 tan x - sinx,故原式= lim tan % -sin

3、%2 xo esin(etan-sinx _i)=lim tan x -sin x(x UIS - X UE；)XUIS9 o_* Z两对重要的单侧极限( 1) lim a = 0,Xf 0 一1Rlim arctan 一 = 一 一，x2lim a ” = 8,xf 0+1 7Clim arctan _ = _xfo+ x 2Xf8口工Xf+8口工一类需要注意的极限唯续的的的Ilim /(x) = /(x0)XXq左连续、右连续间断点的分类噂二磐隗（可去型，跳跃型）第一类间断（无穷型,振荡型）最大，最小值定理版区间连续函数的性质j有界性介一定理，零点定理例求/(%)=1的间断点，并指出其类型

4、.解当 = 0/=1时,函数无定义,是函数的间断点.1% = 0,由于 lim y(x) = lim = g,0x011-e所以 = 0是函数的第二类间平点,且是无穷型.x = 19 由于 lim /(x)= lim = 0所以 = 1是函数的第一类间断点,且是跳跃型.例求=M的间断点，并判别其类型.解x = -l,x=l,x = 0是间断点，x = -i lim (l + *)sm = Lsinl,xf -i x (xKQ(x -1)2x = _1为第一类可去间断点x = l, lim/(x) =009x 1X=1为第二类无穷间断点X = o, lim /(x) = -1, lim f(x)

5、 = 1.Xf 0+x- 0x = 0为第一类跳跃间断点+ sin( x-1) sinx 1的间断点,2X 1例 y = -l2X +1并判断其类型.解：可知x = 0, x=l是可能的间断点.(1)在=0处，lim j = -1 + sin2(-l), lim y = 1+sin2 (-1)xf 0-xf 0+因在 = 0处的左右极限都存在，但不相等所以* = 0为函数的第一类间断点，且是跳跃间断点.在 = 1处,2lim y = lim - 1 +XX-2X +1sin( x-1) sinx 1即在 = 1处函数的左右极限都存在且相等所以 = 1是函数的第一类间断点，且是可去间断点.例设函

6、数a(l-cos x)x2在x = 0连续，贝！k= 2 b- e提示：/(0)= lim (1-c0s ”)= ax-o- x 2/(0+) = lim In (b+ x2) = lnbXf o+/从 21 - COS X x2Q 1-=l = nbr 7 . i,r2 sin_例讨论了(%) = 0()(A) a = b = 1;(B) a = 2, b= 1;(C) a = l,b = 0;(D) a = 0,) = 1.第二章导数与微分左导数(/),右导数(%)日皿J1导数存在的充要条件导数:几何意义 切线斜率4=fix )轲导性与连续性的关系可导n连续微分!求微分dy = r(/)d

7、%I与微分的关系可导O可微按定义求导复求导数方法I合函数求导,隐函数，参数方程求导对数法求导分段函数在分段点求导1高阶导数(sin x,cos xe , )fx=(p(t)参数方程 求导数dydjd7U(t)dx dx(pQ)dt ,d(或)d(忆2d()dx /(，)d y = d_ d_ didx2 dx dx dxdt df第三章 微分中值定理及其应用（罗尔定理中值定理J拉格朗日中值定理1严但7H埋I柯西中值定理JI泰勒定理（泰勒公式，麦克劳林公式）洛必达法贝！1（计算, 8,8-00/8等未定型极限）0 00证明不等式讨论方程根的存在与个数函数的单调性（利用导数判断）函数性态函数的极值

8、谶虐存在的必要条件I极值存在的充分条件函数的凹凸性（拐点，凹凸性和判别法）函数的最大最小值函数的渐近线（水平，垂直）带Peano型余项的泰勒公式设了 （%）在含%的区间3。）内有阶连续导数,则对于x 8），有/(X)= /(xo) + /(%)( X-Xo) +r（x0）(x-x0)24F厂（工。）X- x.y +o(x-xQ)n.常用函数的麦克劳林公式352w+lsinx = x + (-1)3:5!(2n+1)!+ 0(产2)COSX =比 2r4 之1 6! H (I)214!+ o(x2n)x2 x3ln(l + x) = x + 23n+1-+o(xn+i)n+l=1+ x + x2

9、 + , , , + xn + o(%”)1-x(1 + x)m = 1 + mx + m(1n 1)x2 + 2!xn + o(xn)n皿一 1)(*M+l)洛必达法则基本类型：。型，艺型000迎：0-oo,oo-oo, 0,00。型法则：imfr(x)g(x)g(x)注(1)当上式右端极限存在时,才能用此法则，(2)在求极限过程中，可能要多次使用此法则,(3)在使用中,要进行适当的化简，(4)在使用中,注意和其它求极限方法相结合.定理（第一充分条件）设/（%）在邻域U（x。）内,（）当 0;而当% %,有f（x） 0,则/（%）在/处取极大值.3）当有y（x）%0,有r（x）o,则/（%）

10、在/处取极小值.（C）若/（%）在邻域1/（/）内符号相同，则/（X）在%0处无极值.定理(第二充分条件)设f(x)在与处具有二阶导数，且/(0)= 0,则()当/(/)0, /(%)在/处取得极小值.求极值的步骤:a.求导数/(%)；b.求驻点(方程/(%) = 0的根)及/(%)不存在的点.c.检查/(%)在办中所有点左右的正负号，或r(“)在该点的符号，判断极值点.d.求极值.渐近线的求法3)水平渐近线 若函数/(%)满足lim /(x) =Xf 00(8,+00)则函数/(%)的曲线有水平渐近线y = .3)垂直渐近线 若函数/(%)满足lim / (x) = 00,“0 (而，就)则

11、函数外幻的曲线有垂直渐近线x = x0计算题=12 x l% = 1处可导，确定a,b.Z.linJx-dEq+UxoolXL-3.求极限 sinx-x(l+x) (2)lim(ex-l-x)(1) limx0X310+计算题解答1.由连续性，有 Hm/(x) = Hm/(x) = /(l)X1 -X1+：.a + b = l(1)由可导性，有 lim /(x)-/(l) _ iim /(x)-/(l)Il xl T+ xl2 -1 11m x + ： -1 _ lim 1 + /ii+ x -1 -I x-12 -1 一x4x1- (1+ X2)2.a= lim 1+ x = lim= -1

12、Xf 1 一=-1 由(D =& = 2.2. limi x-x2ln(l + )=x00l-xln(l + )lim-Xf 8口1令1 = 1，则原式=lim30 tt ln(l + ) )*=Inn = limt-0(2t0=lim 1+，一1 _ 11-1+fIt5 2r(i +t) 23.解:e sin x + ex cos x -1- 2x原式=limio3x2=lim e Gin x + cos %) + e” (cos x - sin x) -26x一 lim ex COSX -1zo 3xX . X_ Hm -e sm x + e cos xxfo33解法2:e x (sin x - x) ex-l-x原式=lim 7+2zo xx= x cos x -1 ex-llim e ,lim2