正交圆锥曲线的交点特性及相关的角度范围问题.docx

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1、正交圆锥曲线的交点特性及相关的角度范围问题目录1 -序言12 .准备工作22.1.正交的定义：22 .2.两圆锥曲线相切的定义：23 .3.圆锥曲线交点、切点的个数：24 .正交圆锥曲线的交点特性35 .圆锥曲线的平行与正交56 .应用111 .序百任意圆锥曲线的交点问题实质都是四次方程解的问题，通常较为复杂。但是对于正交的圆锥曲线的交点特性，我们却可以得到一些好的几何特性，并加以利用。本文意在利用圆锥曲线系的解析方法得到正交圆锥曲线交点的一个重要性质，并且利用这一性质分析圆锥曲线中任意弦所对角的取值范围。我们先看一个常规问题：问题1：椭圆W+=1上两端点A(-5,0)B(5,0),在椭圆上求

2、一点54P,使得NAPB最大。方法1：常规解析法，可以设P的参数坐标，然后利用两直线的夹角公式以及基本不等式的方法求出P点就在短轴顶点。方法2：可以设想过AB的圆，当圆与椭圆相切时，显然切点就是我们要找的P点。此法优点在于简结，但是有个缺陷，因为我们可以说圆与椭圆相切于椭圆对称的两侧而非短轴顶点(虽然实际并非如此)。另外，如果A,B两点是椭圆上的任意点，以上的方法1就比较繁琐，方法2虽然依旧得到过AB的圆与椭圆的切点即为所求的简洁结论，但是除了仍然面临上文的那条缺陷外，具体求P点也成为问题。利用本文得到的关于正交圆锥曲线交点的一个重要性质可以完善方法2,更为本质的认识这类问题。2 .准备工作2

3、.1.正交的定义：若平面上两条曲线都是轴对称图形，并且这两条曲线存在相互垂直的对称轴，则称这两条曲线相互正交。显然圆与所有圆锥曲线都正交。我们这里将对称轴垂直坐标轴的圆锥曲线称为标准圆锥曲线。所以标准圆锥曲线都不含交叉项。2.2.两圆锥曲线相切的定义：两条圆锥曲线C1、C2有公共点P,且过P点C1、C2有同一条切线，则称这两条圆锥曲线相切于P点。P称为C1C2的切点。直观上，我们设想C1、C2原来相交于A,B两点，当我们适当移动C1C2中的一条或两条，使得AB越来越接近，最终重合与P,根据切线的定义，割线AB最终同时成为C1,C2的过P的切线。这样C1,C2就相切于P点。所以，从方程解的角度看

4、，AB本来是C1,C2联列得到的四次实系数方程的两个相异实根，而当他们重合于P后，就成为重根。即切点就是实重根点，对应两实数解。2.3.圆锥曲线交点、切点的个数：引理：任意两条圆锥曲线最多有4个不同的公共点，并且只有以下几种情况：（1）若共有4个不同的公共点，则其中不存在两曲线的切点。（2）若共有3个不同的公共点，则其中有且只有1个是切点。（3）若共有2个不同的公共点，则这两个点要么都是个切点，要么都不是。（4）若共有1个公共点，则这个点必是切点。（5）没有公共点。证明：根据代数基本定理，C1,C2联列得到的四次实系数方程在复数域内有且只有4个根，其中实根和虚根都是成对出现。所以根的所有情况是

5、：I4个相异实根，对应上文的（1）II4个实根，其中两个相等，另外两个不等。对应（2）IH4个实根，两两相等对应（3）中的两个切点。IV 2个相异实根，2个虚根，对应（3）中的都不是切点的情况。V 2个相等的实根，2个虚根，对应（4）。VI 4个虚根，对应（5）。到这里我们已经可以解释问题1的方法2中为何圆与椭圆只能相切于椭圆短轴顶点了。根据圆与椭圆的对称性，假如切点不是短轴顶点，比如说切点在短轴左边，则右边对称位置也是切点。那么这样相当于圆与椭圆有六解，这与最多四解矛盾。3 .正交圆锥曲线的交点特性定理1：若圆与其它圆锥曲线C相交于4个不同的点，则这4点两两连线所成的角的角平分线都垂直或平行

6、于C的对称轴。（连线平行的情况除外）此定理等价于圆与标准的圆锥曲线的4交点，任意两两分组连线的斜率相反。（若两点连线斜率不存在，则另外两点连线斜率也不存在）证明：如图1我们先证C为椭圆时，不妨以C的中心为原点，对称轴为X轴建立直角坐标系。设点E坐标为（小,先）,椭圆为0+斗=1,直线AB为：y-yQ=ki（x-x0）,ab直线CD为：y-y0=k2（-0）利用曲线系方程：这个方程代表一个圆方程。此时取的系数为一伏+），因此必须（占+22）=O即斜率相反。若占不存在，则佝也不存在。图1同理,AC的斜率与BD的斜率相反，AD的斜率与BC的斜率相反。从上面的证明过程我们看到，将椭圆换成其它的圆锥曲线

7、我们同样可以证明这个结论。因为，其它标准的圆锥曲线同样不含交叉项。这就证明了定理推论1：两条正交的圆锥曲线相交于4点，则4点两两分组连线的角平分线垂直或平行于圆锥曲线的对称轴。（连线平行除外）此推论等价于两条正交的标准的圆锥曲线相交于4点，则4点两两分组连线的斜率相反。在定理1的证明中我们看到，只要式表示一个不含孙项的曲线，就有2）=0o两条正交的圆锥曲线，以其中一条对称轴为坐标轴建立坐标系，另外一条也就是标准的。所以推论成立。推论2：两条正交的圆锥曲线相交于4点，则4点共圆。由推论1,因为相交成的四边对边斜率相反，所以根据到角公式，四边形的对角互补，即四点共圆。推论3：两条斜率相反的直线与标

8、准的圆锥曲线C：Ax+By1+Dx+Ey=相交于4点，则这4点共圆。利用过交点的曲线系方程：（Ar2+By2+Dx+Ey-1）+j-y0-k（x-X0）.y-j0+A:（x-xo）=O随着t的变化，上式表示所有过4交点的标准的圆锥曲线。当然其中也包括圆，也就是说4交点共圆。4 .圆锥曲线的平行与正交在这一节中，我们的任务是对圆锥曲线的几何特性进行分层。目前为止，我们把平面几何从低到高分成了三层：射影几何、仿射几何、解析几何。不同的层次中的几何元素中定义了不同的关系，也定义了不同的运算。高层次的关系可以表示低层次的关系，但低层次的关系未必能表示高层次的关系。高层次的运算可以表示低层次的运算，但低

9、层次的运算未必能表示高层次的运算。举例：用点的坐标满足的方程（解析几何）可以给出三点共线的条件（射影几何），但用射影几何的关系不能表示两个点的X坐标相等“（解析几何）。”写出过两点的直线方程“（解析几何）可以表示”做两个点矢的叉乘“（射影几何）；但用射影几何的关系不能表示”过一点作一条直线的平行线“（仿射几何）理论上说，我们可以把所有的关系以及所有的运算都用最高层次的表示。然而，用高层次的东西表示低层次的东西通常会比较复杂。因此，我们应该用尽可能低层次的方法来解决问题。假设我们有一道题，给出了一些几何元素abcde,已知它们满足关系ABC,求证它们满足关系X。我们首先判断ABC是否仅仅含有射影

10、几何的关系。如果是，我们将用射影几何的运算来证明它们满足关系X。如果含有非射影几何的关系，我们再判断它是否仅仅含有仿射几何的关系。如果是，我们将用仿射几何的运算来证明它们满足关系X。否则，我们将用解析几何的运算来证明它们满足关系X。需要注意的一点是，题目常常会有一些多余的条件。比如，明明A点在任何位置时命题都成立，题目却偏偏假设A在X轴上；明明命题对任何双曲线都成立，题目却给定双曲线是等轴双曲线；这时候，只能通过合理的推断以及猜测来判断应该用什么层次的方法来解决问题。射影几何的内容我们在之前已经讨论过一些。射影几何，也就是没有附加结构的三维矢量空间中，有意义的概念是“点在直线上“、”共点和共线

11、“、”圆锥曲线”极点和极线”对合与调和点列“等等。我们举一个例子，用高层次运算表示低层次运算。同一直线1上的四点a,b,c,d可以定义交比(abjcd)=acbdadbc。它是坐标系无关的,因此我们可以在任意一个坐标系下写出它的值。我们选一个比较方便的坐标系，使得这条直线上的所有点矢的第二个分量为0,再取合适的规范使得第三个分量为Io这时它们的坐标是(XAO1MXB,0,1),(xC,(U),(xD,0,1)。在这个坐标系下，(ab;Cd)=(XCxA)(xDfB)(xD4A)(xCxB)。纯粹的射影几何中，交比是几何量，而XCxA等数值却并不是几何量(因为选不同的坐标系时它的值不一样)。然而

12、，我们可以利用解析几何赋予XCdA这种量”两点间长度”的意义(实际上，这相当于我们选取了一个特定的坐标系)。此时，我们可以用两点间长度(解析几何的概念)之比来表示四点的交比(射影几何的概念)。然而，由于这个表达式过于复杂，这样做通常并没有什么好处。在定义了无穷远点后，三维矢量空间有了一个平行结构。这时可以自然地定义更多的概念。比如，我们已经讨论过的是直线的平行，圆锥曲线到椭圆、双曲线、抛物线的分类，圆锥曲线的中心和双曲线的渐近线。有了18以后，1上多出了一个特殊的点8,表示118的交点。此时我们可以定义一个只含三个几何量a,b,c的函数(ab;c8)=acb8abc,称为单比。可以看到，单比是

13、特殊的交比。选取一个坐标系后，单比的值为(ab8)=(CxA)(82B)(8-A)(xCrB)然而，当我们用解析几何赋予XCrA这种量以“两点间长度”的意义时，无穷远点的坐标就必然是无穷大。在满足这个意义的坐标系下，单比有更简单的解析式：(ab;c8)=xC-xAxCBo换句话说，单比就是一条直线上的两线段长度之比(注意，必须在同一直线上)。我们可以看到，单比(仿射几何的概念)可以用长度(解析几何的概念)表示，而且表达式还是相对简单的。但是，长度是不能用仿射几何的运算表示的。如果a,b,c,8成调和点列，则xC-XAxC-XB=-I。这表明C是A,B的中点。因此，中点是仿射几何的概念(在射影几

14、何中是不能定义中点的)。在”直线与椭圆相交”一节中，我们看到了蒙日圆问题，它虽然涉及到了”垂直“这一不属于射影几何也不属于仿射几何的概念，但我们的解题过程几乎都是坐标系无关的。因此，我们来考虑一下能不能类似定义”平行结构“而定义所谓“垂直结构我们已经通过引入了一个特殊的线矢18得到”平行结构“，因此我们猜测，我们可以通过引入一个特殊的张量来得到垂直结构“。比如我们记这个这个张量为,并定义直线m,n垂直的条件为ijminj=O(可以看到，这个等式是规范不变的)。我们知道，如果直线m,n垂直，那么所有与m,n分别平行的直线也相互垂直。而和m平行的直线可以写成m+1o,因此，只要Oijminj=O就

15、有0ij(m+1)i(n+1oo)j=0。可见必有ij1i=0。可见必定是退化的，它乘以18后会得到零矢量。我们知道，一条直线不应该与自己垂直，因此对m1,ijmimjOo因此它不能是不定的。所以把对角化后，它的号差是(1,1,0)。因此我们定义：如果在三维矢量空间中指定了一个(2,0)型，号差为(1,1O)的对称张量ij,则称在三维矢量空间对应的射影几何中有一个正交结构。只要有了正交结构，平行结构就随之而确定了。从代数观点看，可以定义满足ij18i=o的线矢是无穷远直线；从几何观点看，如果两直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。因此，正交结构包含了平行结构。和解析几何联系紧密的坐标系下，正交张量的矩阵形式为0ij=(100010000)4ooi=(0,0,1).正交结构不仅能判断两条直线是否垂直，还能给出它们的角度具体是多少。要度量角度，我们需要给出一个规范不变的实数作为线矢量的函数。很明显，如下的构造满足要求：=mn(mm)(nn),其中m6n是ijminj的简写。设mi=(k1,T,b1),ni=(k2,T,b2)贝IJ=k1k2+1k12+1k22+1=cos(2-1)o这样我们度量了角度。在任意三角形中使用正弦定理，我们可以度量