线性代数试题及答案.docx

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1、线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1 .设行列式a21A.m+nC.n-m12 .设矩阵A=00a,2=m,a,3a,=n,则行列式a,2+a,3等于(H22223a21a212223B.-(m+n)D.m-n00、20,则A-I等于()0X3-12、3.设矩阵A=10-1,A”是A的伴随矩阵，则A*中位于（1,2）的元素是（）-214,A.-6B.6C.2D.-24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC则必有（）A.A=OBBwC时

2、A=OC.A0时B=CD.A0时B=C5.已知3X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）A.1B.2C.3D.46 .设两个向量组,a2，,as和Bi,B?,，BS均线性相关，则（）A.有不全为0的数）,入2,，入s使入1a+入2。2+sas=0和人1B1+入2。2+入SBS=OB.有不全为O的数人1，入2，入S使（a+1）+入2（a2+2）+k（a*+BJ=OC.有不全为O的数1,入2，AS使入1a-|）+2（a2-2）+-+5（as-s）=OD.有不全为O的数入1,2,入S和不全为。的数u,口2,，人使入a+2i2+入SaS=O和U1BI+u2B2+UsBs=07 .设矩阵A的秩

3、为口则A中（）A.所有r-1阶子式都不为OB.所有r-1阶子式全为OC.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为0.设Ax=b是一非齐次线性方程组，n,112是其任意2个解，则下列结论错误的是（）10.设A是一个n(23)阶方阵，下列陈述中正确的是()A.如存在数和向量使Aa=入,则是A的属于特征值人的特征向量B.如存在数人和非零向量a,使(入E-A)a=0,则入是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如入1，2,3是A的3个互不相同的特征值，a1，a2,a3依次是A的属于X1，2,入3的特征向量，则aI，a2,a3有可能线性相关11 .设入0是矩阵A的特征方程的3

4、重根，A的属于入的线性无关的特征向量的个数为k,则必有()B.k312 .设A是正交矩阵，则下列结论错误的是()A.AF必为1C.A,=AB.A必为1DA的行(列)向量组是正交单位向量组13 .设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则(A.A与B相似B. A与B不等价CA与B有相同的特征值D.A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为(11PD.120102;100、C. 02-30-35；第二部分非选择题(共72分)二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。1 1115.356=.9253616 .设A=C；%

5、B=C1：).则A+2B=,17 .设A=(aij)3X3，A=2,Aij表示A中元索ay的代数余子式(i,j=1,2,3),则(anA2+a2A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=.18 .设向量(2,3,5)与向量(-4,6,a)线性相关，则a=.19 .设A是3X4矩阵，其秩为3,若n,。2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.20 .设A是mXn矩阵，A的秩为r(n),则齐次线性方程组AX=O的一个基础解系中含有解的个数为.21 .设向量a、B的长度依次为2和3,则向量a+B与a-B的

6、内积(a+B,a-)=.22 .设3阶矩阵A的行列式A=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为.0106、23.设矩阵A=1-3-32IO8?2、已知=-1是它的一个特征向量，则a所对应的特征值2,为.120、25.设A=340则求出组合系数。试判断是否为Q1,a2,1-2-10-242629.设矩阵A=：21023333求:（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。0-2230.设矩阵A=-2-34的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使TTAT=D.n2=Ao+&2均是Ax=b的解；（2）no,n：,n2线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14小题

7、，每小题2分，共28分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D11.A二、填空题15.67.C12.B8.A13.D9.A14.C（本大题共10空，每空2分，共20分）16.331-1-37-10.B17.418.-1019. n+c(i2-n)(或n2+c(i2-n),c为任意常数20. n-r21. -522. -223. 124. Z+2Zj-ZZ三、计算题（本大题共7小题,每小题6分，共42分）25.解12(1)ABt=34OY28186、IO10;3-1-2、40(2)4A=4=64A,而1234-I2所以4A=64(-2)=-12826.解3-521110-5-13135-110-5

8、110-5-1313I-10027.解5-I1-55-6-51-512-5-102-5=30+10=40.AB=A+2B即(A-2E)B=A,而(A-2E)-1=21-12-123、一01所以B=(A-2E)-,A=111-4-3-5-364,-4-56-3、-34;2123、0X3-8-6、2-9-6O-531-3OO11013-1V1035、011200110000；T(002)O1O1OO11所以a&=2a+a2+a3,组合系数为（2,1,1）.解二考虑4=x+22+x3a3,-2xj+2+3x3=0即Xf2=2x2+2x3=43x1+4x2-X3=9.方程组有唯一解(2,1,1),组合

9、系数为(2,1,1).解对矩阵A施行初等行变换1-2-102、0006-20328-2（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）29 .解A的属于特征值人=1的2个线性无关的特征向量为r2515n2=4515席3,1=（2,-1,0）,2=（2,0,1）.2万/5、经正交标准化，得n产-55、0）=-8的一个特征向量为rW21/3经单位化得n3=2/32/3,255215151/3、所求正交矩阵为T=-554515

10、2/3、O53-2/3,1O0、对角矩阵D=01000-8；r255(也可取T=0.55215151/3、-532/3.)-4515-2/3,31.解y=Xi+2X2-2x3设T2=2-3，)3=x3U-2因其系数矩阵C=O100f(xi,X2,Xj)=(xi+2x2-2X3)2-2X22+4X2X3-7X32=(X|+2X2-2X3)2-2(X2-X3)2-5X32.x=y-2y2即(X2=丫2+丫3)3=丫30、1可逆，故此线性变换满秩。1;经此变换即得f(x,X2,X3)的标准形y2-2y22-5y32.四、证明题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)32 .证由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,所以E-A可逆，且(E-A)-,=E+A+A2.33 .证由假设AnO=b,A=0,A1=O.(1)A=A(o+1)=Ano+A=b,同理A2=b,所以W，%是Ax=b的2个解。(2)考虑ono+1n1+2n2=O,即(0+i2)n0+/11+/242=则/2=0,否则no将是AX=O的解,矛盾。所以4i+h42=0.Zo=O.又由假设，,U2线性无关，所以仁O,/2=0,从而所以n(),n1n2线性无关。