平面向量与三角形的四心归纳总结.docx

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1、三角形的四心与向四心的概念介绍:(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；(2)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等。(-)三角形的内心例题1。是平面上-定点，A8,C是平面上不共线的三个点，动点尸满足：(AC)OP=OA+4+-,0,+),则P的轨迹一定通过A48C的()IIAB1C)A.内心B.垂心C.重心D.外心ABAC【解析】E、TIK分别表示向量A8、AC方向上的单位向量BIAqABACABAC7+TTK的方向与NBAC的角平

2、分线一致，又OP=OA+4+),IA4IAqABIAC1.OP-OA=AP=黑+*),.向量界的方向与NBAC的角平分线一致IA61IACI二.一定通过A45C的内心，选AABACABAC1练习1已知她始满足词+同)小町网网=5,则A6C为()A.顶角为120。的等腰三角形B.等腰直角三角形C.有一个内角为60。的直角三角形D.等边三角形【解析】设A。=篇,AE=曲，则az5+a=A户，而IAa=IAq=1,所以A尸是N5AC的角平分线，又478C=0=aQ_18C，所以AABC为等腰三角形，ARc1IabIIaccoszbaci11nI=7=CoSzSAC=；=NMC=；,所以AABC是等边

3、三角形.ABAC2aB-ac223练习2.0是平面内的一定点，A,B,C是平面内不共线的三个点，动点P满足(fP=()A+,O,+8）则P点的轨迹一定通过三角形ABC的A.内心B.外心C.重心D.垂心T【解析】丁、丁分别表示向量/、/方向上的单位向量ABACTAC+丁的方向与NBAC的角平分线重合，BACaI?ACAAC*又.P=4+-+=-）可得到OP-OA=AP=（二-+二-）ABACABAC，向量G的方向与NBAC的角平分线重合，一定通过AABC的内心，选4（-）三角形的重心例题2已知AABC中，向量AP=；I（AB+AC）（4eR）,则点P的轨迹通过A3C的（）A.垂心B.内心C.外心

4、D.重心【解析】设。为BC中点，则A3+Ae=2AD,.AP=2;IAO，即尸点在中线A。上可知?点轨迹必过A43C的重心，选。练习1过?的重心G作直线I,已知当、4C的交点分别为M、N,芦土=等，若疵=MB,则实数sAMNV入的值为（）D.3-3B-4C3-2-4【解析】设向=因为G为MBC的重心，所以脑+尼=3庇即%/+%/=疝由于MMG三点共线所以5+=1，即”3-1AACABAC120S20AMAN一xABACx因为卢吧=1,SMg=。脑11mISE=所以b1AMN,/乙oi2A热33即有上上_=9,解之得久=I或F选B3-145练习2.已知O是ABC所在平面上的一点，若以+而+OC=

5、6,则O点是ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】作BDOC,CD/OB,连OQ,0。与BC相交于G,则BG=CG,（平行四边形对角线互相平分）,TTTTTTTTTTTTOBOC=ODf又04+OB+OC=0,可得：OB+OC=-O4,OD=-OAfO,G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线,同理：BO,CO的延长线也为AABC的中线.，O为三角形ABC的重心.选C(ARJ(0,+),则MBISmBHCsinC/点P的轨迹一定通过A4BC的()A.内心B.外心C.重心D.垂心【解析】ABs/B=HC1SEC设它们等于乙.如=44+九/油+市?)而后+E=2疝入；(/由+尼)表示

6、与血共线的向量击,而点。是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心，选C练习4.已知。是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点尸满足功=成+震脑+尼)，0,+8),则点P的轨迹一定通过4BC的心.【解析】设D为BC的中点，则e=R4+4(+E)=R4+2M,于是有Q=21,:AP,。三点共线，又。是BC的中点，所以AD是边BC的中线，于是点P的轨迹一定通过力BC的重心例题34B、C是平面上不共线的三点，。为&4BC所在平面内一点，。是力B的中点，动点P满足OP=(2-2)0D+(1+2)0C/?),则点P的轨迹一定过AABC心(内心、外心、垂心或重心).1【解析】动点P满足。

7、P=1(2-2)od+(1+2)oc(R),且；(2-2入)+：(1+2/1)=1,/、C。三点共线，又。是AB的中点，,CD为中线，点P的轨迹一定过AABC的重心.故答案为重心.（=）三角形的外心例题4已知点。为ABC外接圆的圆心，且以+而+沅=O,则ABC的内角4等于（）A. 30B. 60oC.90D.120【解析】因为&4+而+沅=0,所以点。为A/1BC的重心,延长40交BC于。，则。为BC的中点，又O为A/1BC外接圆的圆心,所以4。J.BC,则4B=4C,同理可得AB=EC,.A/IBC为等边三角形，A=60,故选B.练习1已知A/1BC,点H,。为A4BC所在平面内的点，且z=

8、市;，BHBA=BHBCfOA+OB+OC=OHf则点。为Az1BC的（）A.内心B.外心C.重心D.垂心【解析】因为AA=E,所以A（A-疝7）=0,iAHCB=O又因为雨+d+而=例，所以阮BCAC-AM+AB-AM）=BC（MC+MB）=0设E为BC中点，则+=2.BC2ME=0=阮J,=ME为BC的垂直平分线M轨迹必过A4BC的外心，选D练习3.。是锐角1勺外接圆圆心，幅最大角，若黑脑+篝=m敏则m的取值范围为.【解析】设。是力B中点，根据垂径定理可知0D14B,依题意cosB-cosC-、-m-9r,rtABAB+AC-AB=m（AD+DOYAB=-AB2t即sinCSinB2c2c

9、osBbccosAcosC卜SinCSinB=F利用正弦定理化简得cosB+cosAcosC=sinC.由于COSB=-cos（A+C）,所以sE4sEC-cosAcosC+cosAcosC=TSEC,即m=2sinA由于4是锐角三角形的最大角，故4：,目，故m=2sirt4W3,2).练习4.已知。是ABC外接圆的圆心，AB=6,AC=I5,.o=x.+yy.r,2x+3y=1,则COSNBAC=1z/ID/1G【解析】如图所示，过。点分别作OO1AB,OE1ACf垂足分别为。，E.则AD=O8,AE=EC.则二+*）=2=62=18,AOABMDDoJAB2AB2则-.-=广+-）=y=两式相加可得，+-=1bBAaABba由基本不等式可得，1=:+2怪=2岸，当且仅当：=细取等号，解可得，xy6haJabJ24ba则到的最大值为6,选B练习1.若点。是Azi。C所在平面内的点，且满足（c-6b）（6b+b-2）=o,则a/bc为（）A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.以上都不对【解析】V(OB-OQOB+OC-20Ay)=OBP(OB-0C)(0-OA+OC-OA)=0,：BC(AB+t)=0,(-fc)(fe+t)=0,即|曲2_麻|2=0，.阿=Mq,三角形4BC为等腰三角形，选4练习2.已知43是直线2上任意两点，O是矽