第06讲 三极值点问题（老师版）.docx

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1、第06讲三极值点问题参考答案与试题解析一.解答题(共10小题)1. (2023秋襄城区校级月考)已知函数/(X)=X匚(其中为常数).Inx(1)当=1时，对于任意大于1的实数%,恒有/(X).成立，求实数k的取值范围；(2)当01时，设函数/(x)的3个极值点为X,x2,X3,且王$【解答】解：(1)x1时，/(x).k即(x-1)?-版X.0成立，令g(x)=(x-1)2-Zzu,则g(x)=2尸2.&,XX1,/,2x2-2x=2x(X-1)0上0,g)O,.g(x)在(1,o)上是增函数，.x1时,g(x)g(1)=0，满足题意：后0时，令g(x)=0,解得M=匕与巫v,W=J；2-,

2、X(1,x2)gx)v,g(x)在(1,x2)上是减函数，.x(1,x2),g(x)g(1)=0,不合题意，舍去，综上可得，鼠0；(2)由题，f,(x)=对于函数人(X)=2妹+四一1,有()=2FXX2函数x)在(0,当上单调递减，在二，+00)上单调递增22.函数/(x)有3个极值点Fx2X3,从而hmn(x)=MT=2加一+1所以=22Je当OVaVI时，h(a)=Hna0,h(1)=a-10.函数/(x)的递增区间有区，)和(七，+oo),递减区间有(0小)，(4,1),(1,3),此时，函数f(x)有3个极值点，且七二。；.当0v1时，X1,不是函数(X)=2妹+日-1的两个零点;X

3、2x1+1=0Xj2Zzu3+-，消去有2xJX1-XI=2x31nx3-X31=0令g()=2x1nx-Xg(x)=21nx+1有零点X=J=,且不-j=J-XOg(x3)g(1)=g(),即证g(%)g(-X1)构造函数尸(X)=g(x)g(j2-),则尸(J=)=0Ne&个证明x(0,卡单调递减即可.而F,(x)=2bc+-x)+2,F,(x)O,=O.尸(X)在(0,9上单调递增，.尸(x)2，当O-J=.2. (2023市中区校级模拟)已知函数/(x)=Hu-x,且函数F(X)在x=1处取到极值.(I)求曲线)，=/(幻在(1,f(1)处的切线方程；证明:(2)若函数g(x)=G色1

4、(Ocwzv1),且函数g(x)有3个极值点X，x2,(x1x20,2e2.力(X)在(1,2)内存在零点，设力($)=0,.x0mf当g(x)0时，即OVXV6，或x%,函数单调递增，当gx)v时,，即/nxX0,函数单调递减，.当*=6时，函数有极大值,，当Ovznv1时，X=是/(x)极大值点；/?(是以X)的最小值；g(x)有三个极值点x1x2X3,.1(y)=2Zy+10f得旭j2.机的取值范围为(0,-尸)，e2当0m7=时，h(m)=2bnO,h(1)=ZW-IV0,.*.x2=nn即司，不是函数人“)的两个零点21nxi+-1=0,消去加得2Xt-X=Ix3Inx3-X3：Hn

5、x2+-1=0X2(x)=2x1nx-x,rx=21nx+,*(X)的零点为X=J=,且玉4一；，即证+wJ,等价于证明/今一毛,即以W),O(X)二火不)，二即证*(石)。(70；2构造函数F(x)=(x)-(亍-x),W1J二.只要证明在(0,、=上尸(X)单调递减,函数0(x)在(0,爰单调递减：X增大时，-产-X减小，(-尸-X)增大,yje-Je一0(广x)在(0,7=上是减函数.eyje(x)x)i.(0=上是减函数.yjeyje2 204.223 .(2023台州一模)已知函数/(劝=一加1+x(1)若=o,讨论F(X)的单调性.(2)若/(x)有三个极值点X,x2X3.求的取值

6、范围;求证：JT1+Jt2+-2.【解答】解：(I)当=0时，fix)=,-t1+x，/xe当r(x)v时，K在(-00,T)和(7,0)上,/(力单调递减,当r(x)0时，X在(0,oo)上，Fer)单调递增,(2)/(X)=1+x.二也上空1(1+)-苜先r(0)=0,令g(x)=e*-(x+2),则g(x)=0应有两个既不等于0也不等于T的根,求导可得，g,(x)=ex-a,此时，g(x)=e-=0有唯一的根Xo=/。，并且与是g(x)的极小值点，要使g(x)=0有两根，只要g(%)-时，g(x)=e*-4(x+2)y)由g(r)=em,a(1na+2)=-a(1na+1)-,e又由g(

7、O)wO,得。工；，反过来，若且。工,时,则g(T)=1-v,g(x)=0的两根中，一个大于一1,另一个小于一1,e2e是在定义域中，连同X=O,r=o共仃三个相异实根，并且在这三个根的左右，r&)的止负变号，它们就是/(X)的三个极值点，综上，的取值范围是W1)UW,+);证明由可知/(X)有三个极值点X,七，与中，两个是g(x)=O的两根(不妨设为M，W，其中-2.只要证：x1+-2,即只要证明Nt2-2,因为g(x)在(w)上单调递减，其中wT,故只要证g(N)vg(-2-X2)，其中g(M)=g(W)=。，只要证g(x2)2+2)e2vj(2X2+2只要证*-/F_2a(2+1)0,由

8、g(M)=*一(x,+2)=0,得。=工，由此代入上述不等式，只要证明泊2一/1q,+i)0,令力(X)=XeX+(x+2)e*2,当x-1时，h,(x)=(X+V)ex-(X+)e-2=(x+1)(-e-x2)0,力(x)单调递增，而MT)=0,所以当xT时,(x)O,于是证Y+(X2+2)+20,即：x1+x2+X3-2.4. (2023辽阳二模)已知函数/(x)=2)/+。(：5).(1)讨论/(x)的极值点的个数；(2)若/(%)有3个极值点,x2,xi(其中XIVWV&),证明：XM30时，/0)有2个极值点，当-感WO时，Fa)只有1个极值点，当-e时，/(x)有3个极值点.(2)

9、证明：因为f(x)有3个极值点不，x2七(其中XIVX2玉)，所以=-g，ex3=-ax3H.X,=1,f,Pa即得J=J,再“3要证X1X3考，即X1Xj1,exix,=k,所以X3-/成，XX3-Xi=Ink,X=Jat1y联立|项1得k所以XX3二幺吗，=k,kink勺3Ot-I)24收=T所以要证与玉1，只需华空1,则有3次)2出土，即/成亨=,则需证明/欣4+4,即需证明%=/产一f+10.t因为)=2-1一=1(二1=12io恒成立，trtr所以K)在f(1,oo)上是单调递减函数，则有力(1)=1-1+=0,即力Q)=加?一f+!0成立，所以耳应1,即士工3只得以证明.5. (2

10、023春兴义市校级月考)已知函数/(X)=二.Inx(/)求函数/(X)在区间/,e上的最值；()若g(x)=f(%)+叱二出竺(其中根为常数)，且当0?!时，设函数g(x)的3个极值点为,b,c,Inx2且vbc,证明：0v246e)=4e,f(e)=e248,.函数Fa)的最大值为最小值为2e;(x-2tn)(2bx+-1)A(x)=2zu-1，(幻=2.21.,XX可以得到函数A(X)在(O.M上单调递减，在(肛+oo)上单调递增;因为函数g(x)的3个极值点，乂h(x)min=h(m)=Hnm+10,h(2m)-21n2mvO,h(1)=2m-O,从而函数g(x)的：个极值点中，有一个为为，有一个小于山，有一个大于1因为3个极值点为。，b,c,且vhvc,所以VmV2m=bvc,所以2v2/n=b,故0v2vZ?VIVc,函数黑外在(OM)上单调递减，在(a,b)上单调递增，在S,1)上单调递减，在(1,C)上单调递减，在(Ge)上单调递增.6. (2023潍坊一模)函数/(幻=(%-4)2(工+力)6,3,6/?).(1)当=0,b=-3时.求函数/(x)的单调区间；(2)若X=。是F(X)的极大值点.当=0时，求力的取值范围；(词当。为定值时.设玉，x2,七(其中王/W)