第04讲 极值点偏移：乘积型（老师版）.docx

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1、第04讲极值点偏移:乘积型参考答案与试题解析一.解答题(共17小题)1. (2023春汕头校级月考)已知，函数/(幻=0x-or,其中R(1)讨论函数/*)的单调性；(2)若函数/(x)有两个零点，求的取值范围；(ii)设/(x)的两个零点分别为X1,x2,证明：x1x2e2.【解答】解：(1)函数的定义域为(0,内)，当4,0时，,(x).0,/(X)在(0,”)单调递增；当0时，由/(幻=0得x=1,贝IJ当OVXV1时，f()0,f(x)在(1+oo)单调递减.aa(2)法1：函数f(x)行两个零点即方程加x-ar=0在(0,+)有两个不同根,转化为函数尸加X与函数尸的图象在(0,o)上

2、有两个不同交点，如图：可见，若令过原点且切于函数y=/，优图象的直线斜率为3只须OVaV攵，设切点A(x0,Inxu),所以A=yI=%=,XO乂k=g,所以_!_=如，解得=e,于是Z=1所以OVav1ee法2:由当40时,/(x)在(0,o)单调递增，不可能有两个零点，.0，此时/*)M=/d)=-1aa需加1-10解得OeaV1,从而1e,-i-aaa又/(1)=-1-e,贝Ijg，(X)=10X故g(x)在(e,+oo)单调递减./(3)=gd)vg(e)=2-e/o/叫+In22,/U1)=0/(x2)=0,.Inx1-ax1=0,Inx2-ax2=0,./x1+InX2=4(,+x

3、2)InXI-Inx2=(x1-x2)f,-,、chj-Inx,2,X.2(x-X,).Inx1+Inx22=(x1+x2)2!-,x1-x2x1+x2x2x1+x2,设函数gQ)=/二一二D1)，r+1x1+x2/+1(D20,令五=，则r,于是加工2(Kr)j2s11求导得：gr=-t(/+I)21+I)?故函数g(f)是(1y)上的增函数,2. .g)g(1)=0,即不等式mT)成立,故所证不等式七玉产成立.t+3. (2023攀枝花模拟)已知函数f(x)=m+2一(tR6R)有最小值且M.().X(I)求尸-b+1的最大值;(II)当-b+1取得最大值时，设/(b)=-n(wR),尸(

4、X)有两个零点为M,x2(x1e3.【解答】解：(I)有题意r(x)=一与=与(%0),Xxx当”,O时，,(x).0,F(X)在。K)上单增，此时显然不成立，当b0时，令r(x)=O,得x=b,此时/(%)在(0,份上单减，在(仇h)上单增，:.M=f(b)=1nb+-a.0,即/成.-1,所以力,ea1-0.所以尸-b+1的最大值为1.(II)证明：当eT一力+1取得最大值时，a-1=nb,F(b)=-/n=-m,bb7(x)的两个零点为芭，X2则以-m=0;以空-帆=0,即/g=叫，Inx2=mx2A1X5不等式W?/恒成立等价于/叫+21nx2=叫+2mx2=zm(x1+Zx2)3/五

5、两式相减得bi=zw(x1-x2)=fn=玉-,X2Xj-X2加工3(1-1)带入上式得(%,+2x2)工3o加工3但一)=一，x1-x2x2x1+2x2A+2X2令五=f(ozi),则8)=/皿一2：112,(0，0X2r+21+2)2所以函数g(f)在(0,1)上单调递增，.g(f).【解答】解：(1)由题意可得，(x)=XeX-Mx-r=xe-出(XeX)=O有2个零点，令r(x)=xex则(x)=(x+1)e0在X0时恒成立故心)=XeX在(0,+oo)上单调递增，所以h(x)有2个零点可转化为g=/-有2个零点，因为g)=1-/,0时，g,(t)O,g单调递增，不可能有2个零点，当a

6、0时，由g)O可得z1,g(f)单调递增；g)O可得Ov,g)单调递减，g(t)min=g(a)=a-aba，若Ov0此时g)0恒成立，没有零点,若=e,则g(a)=0，有一个零点，若e,则g(a)0,g(ee,)ea-a20f所以g(f)在(1e)，(e,e)上各有1个零点，符合题意，综上，的范围(e,+oo);2(2)证明：要证只要证xme*/,即证1n(x1ex)+1n(x2ex)2,由(1)可知，t1=xxex,t2=x2exi,所以a(1nt2-Inti)=t2-tia1nt2+Int1)=I2+1，(+I)/?所以Inti+Int2-+z1(Int2-Inti)=-t2-tk-i4

7、(k+1)z2k只要证工2,f，.t0/,型二。即证/“+/-20,r+1r+1令h(t)=Int+2,r1,r+1则=I湍广黯5.h(t)h(1)=0,即当时，)=1nt+-20,r+1所以Inti+Int22即(xex)(x2ex2)e2,5. (2023武进区校级月考)已知函数/(x)=+g2-”.(1)若函数/(x)在X=I处的切线与X轴平行，求。的值；的取值范围;(2)若存在rwT,1,使不等式/(戏,仪-(-1)伍对于Xe1,e恒成立,(3)若方程/(x)=g2有两个不等的实数根不、试证明天声/.【解答】(1)解：r*)=!x-o,.函数/(x)在X=I处的切线与X轴平行,X:.f

8、,(1)=2-=0,解得=2.(2)解：,1e,不等式/(,戊一(一1)欣化为：x-6r(1-X,t,2X.存在fw-1,1,使不等式/(x,-I)ZMX对于X口，e恒成立，1 InXTx-x.,.-X-a(),1化为：a.=g(x).2 Xx-1nx(x-1)(-x+1-zr)=r令人(X)=1X+1-nr,h,(x)=-=_-0,22X2x.函数力(X)在xt1,e上单调递增，h(x).h(1)=1-00.g(x).0,因此函数g(r)在X81,e上单调递增.。的取值范围是士3,+8).2e-2(3)证明：方程/a)=；/,即如一加v=o,x0.I(x)令h(x)=ax-Inx，i,(x)

9、=a=-XX可得：函数瓜)在x1时单调递增，在Ocxv1时单调递减.aa.x=1时，函数力(X)取得极大值即最大值.a(-)=1+Ina.方程/()=gd有两个不等的实数根石、X2./.Irix1+Inx2=ax+)=1nxyx2),要证明：x1x2e2.只要证明：4(j+修)2即可.不妨设OVXV,七，则2X1,由于函数/7(外在J时单调递增,aaaa因此只要证明：/(二一%)-(二一芭)0即可得出x2-xaaa,.22设函数g(x)=1n(X)-a(x)-(JnX-ax),aa“、1-12(ax-1)2SM=y+2=-.v2XX(Or-2)Xa71可得在(0,4)上gU)o,且g(3=o.

10、aa22:.0x10,BPn(j)-(xx)-(1nxx-0)Oaaa22即加(x1)-a(x1)O.aa2/.Xy9:.xix2e2.V5.(2023和平区校级模拟)已知函数/(x)=g2+n的导函数为广.(I)判断f(x)的单调性；(II)若关于X的方程(=机有两个实数根西，2(x1x2),求证：x10)1尤_令g(x)=x-x,由g(x)=1=(x0)XX可得g(x)在(0/)上单调递减，。,+)上单调递增，()=g()g(1)=10,.J(x)在(O,+00)上单调递增(4分)(H)依题意，卜-产1=,相减得力-=/三，x2-Inx2=mx1令三=W1),则有X=生，X2=-,x1f-

11、1t-欲证芭占22成立，只需证CjV2成立,/-1(r-1)2即证(m)31),只需证23(X-7)-3zu0成立，x-2 1令尸(X)=2(x7)-3nr(x1),2即证X1时，F(X)0成立F(x)=2(1+-=23*、”“XXX令(x)=23(+2)-3x2(x1),1I则h,(x)=21(3)-6x=3x(2%-2)(X1),可得心)在(1,2)内递减，阳*+oo)内递增，2A(x).(2)=0,.Fz(x).0,.F(x)在(1,+oo)上单调递增，F(x)F(1)=0成立，故原不等式成立.6. (2023春邵东市校级期中)己知函数/(x)=X-sinx+”tv,g(x)=/(X)+

12、sinx.(1)求函数y=g(x)的极值；(2)若存在x,x2(0,+),且当Xia时，/(x1)=(x2)当OVaV1时，求证：yJxix20)XX当帆.0,g(r)O,g(x)在(0,+oo)上为增函数，无极值,当nv,Ox-tng(x)-m,g,(x)Og(x)在(0,-上为减函数，在(Tw,+)上为增函数，.,.=-m,g(x)有极小值-6+加(-加)，无极大值，综上知：当机.0,g(x)无极值，当机0,g(x)有极小值-/W+n1n(-m)无极大值.(2)证明：力(X)=X-sinx,/.Az(x)=1-asx,一掇!bosx1,.0vv1,h,(x)=1-asx.0,所以，当0v1,z(x)=x-sinx在(0,