专题64 将军饮马模型与最值问题(解析版).docx

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1、专题64将军饮马模型与最值问题【模型引入】什么是将军饮马？“白日鳌山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李硕古从军行里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为制导军饮马【模型描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？B军营将军,【模型抽象】如图，在直线上找一点P使得B4+PB最小？这个问题的难点在于必+PB是一段折线段,通过观察图形很难得出结果，关于最小值,我们知道“两点之间,线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段.【模型解析】作点4关于直线的对称点A，连接RT,则%=

2、%，所以以+P3=R+PB当4、P、B三点共线的时候，PAPB=AB,此时为最小值（两点之间线段最短）端点*I/P折点Iz,【模型展示】【模型】一、两定一动之点点在04、08上分别取点M、N,使得APMN周长最小.此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为PM+MN+NP”,当P、M、N、P”共线时，ZSPMN周长最小.【精典例题】如图，点P是NAOB内任意一点，NAOB=30。，Op=8,点M和点N分别是射线OA和射线08上的动点，则APMN周长的最小值为.【分析】APMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为

3、折点，分别作点?关于08、QA对称点产、P,化PM+PN+MN为PN+MN+PM.当产、N、M、P”共线时，得APMN周长的最小值，即线段产P长，连接0/、0P”，可得。产P”为等边三角形，所以PP=OP=OP=8.B【模型】二、两定两动之点点在。4、OB上分别取点例、N使得四边形PMNQ的周长最小。考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点R。关于OA、03对称，化折线段PM+MN+NQ为产M+MN+NQ当产、M、N、Q，共线时，四边形PMNQ的周长最小。【模型】三、一定两动之点线在。A、08上分别取M、N使得PM+MN最小。此处M点为折点，作点?关于OA对称的

4、点产，将折线段PM+MN转化为PM+MN,即过点尸作08垂线分别交0A、OB于点V、M得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）题型一将军饮马中两定一动模型与最值问题【专鹿说明】这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转化为两点之间线段最短问题。1、如图，在工c中，=dc，dP.cE是a必C的两条中线，/是上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）【答案】B【详解】在A1ffC中，4=dC,AD是aC的中线，可得点B和点D关于直线AD对称，连结CE,交AD于点P,此时BP+EP最小，为EC的长，故选B.2、如图，在正方形ABC

5、D中，E是48上一点，BE=2fAB=8,P是AC上一动点，则PB+PE的最小值.【答案】10【详解】解：如图：连接。E交AC于点P,此时PO=P4,PB+PE=PD+PE=DE为其最小值，四边形48CO为正方形，且BE=2,A8=8,ZDA=90o,AD=AB=SfAE=AB-BE=Gf在RI中，根据勾股定理，得DE=JAD2+4E2=82+62=10.P8+PE的最小值为10.故答案为10.k3、如图，在平面直角坐标系中，矩形Q43C的边BC交X轴于点O,Ar_1x轴，反比例函数y=c(0)X的图象经过点A,点。的坐标为(3,0),AB=BD.(1)求反比例函数的解析式；(2)点尸为y轴上

6、一动点，当QA+总的值最小时，求出点尸的坐标.【详解】解：(1)0A5C是矩形, NB=NoAB=90， ：AB=DB：,NBAD=ZADB=45， NoAo=45，又,AD_1x轴,，NOAo=NDQA=45，.*.OD=AD， ：0(3,0)0D=AD=3,即A(3,3)把点A(3,3)代入的y=&得，k=9X9反比例函数的解析式为：y=.X9答：反比例函数的解析式为：=-X(2)过点8作BEj_AD垂足为E,VZB=90，AB=BD,BEVAD13AE=ED=-AD=-,2 23 9.OD+BE=3+-=-f4 293仁)，93则点B关于y轴的对称点用(-于5),线AB1与y轴的交点就是

7、所求点尸，此时R4+P5最小,93设直线4B的关系式为y=E+b,将A(3,3)W(-,代入得,223Z+b=39,3k+=221I?解得：Ic=-,b=j112,直线AB1的关系式为y=-x+y,当X=O时，丫=，点P(0,二)4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a2+2x+c与X轴交于A(-1,0)B(3,0)两点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；(2)请在y轴上找一点M,使ABDM的周长最小，求出点M的坐标；(3)试探究：在抛物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？【答案】(1)抛物线解析式为y=-

8、2+2+3;直线AC的解析式为y=3x+3;(2)点M的坐标为(0,3)；7201013(3)符合条件的点P的坐标为(一，一)或(一，-5 939【详解】解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(X-3),即y=ax2-2ax-3a,：,-2a=2,解得a=-1,抛物线解析式为y=-2+2x+3:当X=O时，y=-x2+2x+3=3,则C(0,3),设直线AC的解析式为y=px+q,一+q=0p=3把A(-1,0),C(0,3)代入得C,解得，q=3q=3直线AC的解析式为y=3x+3;(2)Vy=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,顶点D的坐标为(14),(-3,0),作B点关于y轴的对

9、称点B，连接DB，交y轴于M,如图1,则VMB=MB,MB+MD=MB4MD=DB1此时MB+MD的值最小,而BD的值不变，此时ABDM的周长最小，易得直线DB，的解析式为y=x+3,当X=O时,y=x+3=3,点M的坐标为(0,3)；(3)存在.过点C作AC的垂线交抛物线于另点P,如图2,：直线AC的解析式为y=3x+3,直线PC的解析式可设为y=-Ix+b,把C(0,3)代入得b=3,过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P,直线PC的解析式可设为y=-x+b,把A(-1,0)代入得1+b=0,解得b=-33*,直线PC的解析式为y-X-产r+2+3k=-1尸51013解方程组111,解得八或

10、则此时P点坐标为(一，二).y=一一X一一y=01339I331y=9综上所述，符合条件的点P的坐标为(2,型)或(3，-).39395、如图I(注：与图2完全相同)，在直角坐标系中，抛物线经过点三点A(1,0),B(5,0),C(0,4).(1)求抛物线的解析式和对称轴；(2)尸是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点。坐标(请在图1中探索)；(3)在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形。目小是以。3为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由.(请在图2中探索)424812【答案】(1)旷=1%2一彳工+4,函数的对称轴为：=3;(2)点尸

11、(3,?：(3)存在，点上的坐标为(2,一二)或(4,4).【详解】解：根据点410),8(5,0)的坐标设二次函数表达式为：y=a(x-1)(-5)=a(x2-6x+5),抛物线经过点C(O，4),4则54=4,解得：a=-,5抛物线的表达式为：y=g(26x+5)=M(X3)=xx+4,函数的对称轴为：第=3；(2)连接3、C交对称轴于点P,此时R4+PC的值为最小,0=5k+bb=4设BC的解析式为：y=kx+b,将点8、。的坐标代入次函数表达式：y=kx+bfj：k=解得：5,b=44直线5C的表达式为：y=-x+4,Q当X=3时，y=Q故点巨3,二)；(3)存在，理由:四边形OEBF

12、是以OB为对角线H.面积为12的平行四边形,则如边检EM=OBXW=5x%=12,12点E在第四象限，故：则丘=一不，将该坐标代入二次函数表达式得：4/2Nc12y=g(x-6x+5j=-,解得：5=2或4，故点E的坐标为5或5.题型二将军饮马中一定两动模型与最值问题【专题说明】一定两动型可转化为两点之间线段最短和点到直线的垂线段最短问题，进而求最值。关键是作定点（或动点）关于动折点所在直线的对称点，通过等量代换转化问题。【模型展示】【模型】三、一定两动之点线在04、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。此处M点为折点，作点?关于OA对称的点r,将折线段PM+MN转化为PM+MM即过点尸作08

13、垂线分别交。小OB于点M、M得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）【精典例题】1、如图，在边长为1的菱形ABCO中，ZABC=60of将A3。沿射线BO的方向平移得到AA，分别连接AC,AfD,8C则AC+BC的最小值为一.【答案】3【详解】如图，过C点作BD的平行线/,以/为对称轴作B点的对称点与，连接A4交宜线/于点G根据平移和对称可知AC+8C=AG+BG,当ABI,G三点共线时AG+BG取最小值，即A3,又AB=,=1,根据勾股定理得，ABI=邪，收容案为小B12、点P是定点，在OA、OB上分别取M、N,使得PM+MN最小。【解法】作点P关于OA对称的点F,将折线段PM+M

14、N转化为FM+MN,即过点F作OB垂线分别交OAOB于点M、N,得PM+MN最小值（垂线段最短）3、点P是定点，在0A、OB上分别取点M、N,使得APMN周长最小.【解法】分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为FM+MN+NP”，当PM、N、P”共线时，ZSPMN周长最小.3、如图，抛物线y=a2-5ax+c与坐标轴分别交于点A,C,E三点，其中A（-3,0）,C（0,4）,点B在X轴上,AC=BC,过点B作BD_1X轴交抛物线于点D,点M,N分别是线段CO,BC上的动点,且CM=BN,连接MN,AM,AN.（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当ACMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值.【笑】(1)抛物线解析式为y=-x2+-x4;D点坐标为(3,5)；(2)M点的坐标为(0,)或(0,6697)；(3)AM+AN的最小值为J行.【详解】9。+15。+c=0a=-(1)把A(-3,