用向量方法求空间角和距离.docx

《用向量方法求空间角和距离.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《用向量方法求空间角和距离.docx（27页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、用向量方法求空间角和距离在高考的立体几何试题中，求角与距离是常考查的问题，其传统的“三步曲”解法：“作图、证明、解三角形”，作辅助线多、技巧性强，是教学和学习的难点.向量进入高中教材，为立体几何增添了活力，新思想、新方法与时俱进，本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题.空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角.目录1 .知识点总结11.1. 用向量方法求空间角和距离11.2. 建构知识网络21.2. 1.求角：21.2. 2.求距离21.3. 双基题目练练手31.4. 以典例题做一做31.5. 同步练习：用空间向量求角和距离72 .求空间角问题131. 1.求异面直线所成的

2、角132. 2.求线面角133. 3.求二面角143 .求空间距离问题143. 1.求点面距离144. 2.求异面直线的距离154 .练习题201 .知识点总结1.1. 用向量方法求空间角和距离求异面直线所成的角：设.分别为异面直线.的方向向量，则两异面直线所成的角求线面角：设是斜线方向向量，是平面法向量与直线则斜线的锐夹角为，.则斜线与平面成角为.或注1：得到的角是法向量与直线的夹角.并不是直线和平面成的角求二面角在内，在内，其方向如图(略)，则设，是两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角的平面角，注2：不能判断二面角是钝角,还要根据图形辨别(4)求点面距离：设是法

3、向量，在内取一点，则到距离(即在方向上投影的绝对值)1.2. 建构知识网络1.3. 1.求角：(1)直线和直线所成的角：求二直线上的向量的夹角或补角；(2)直线和平面所成的角：找出射影，求线线角；求出平面的法向量，直线的方向向量。，设线面角为,则Si夕=|CoSV=I./n-a1/(3)二面角：求平面角，或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角(或补角)；求两个法向量的夹角(或补角).1.4. 2.求距离(I)点M到面的距离d=MNcos6(如图)就是斜线段MN在法向量方向上的正投影.由NM=Wcos(1,x,-i)=o,所以Z?A_1(2)因为E为AB的中点，则E(1,1,0),IfuDE

4、=(1,1-1),AC=(-1,2,0)，AD1=(-1,0,1)，设平面ACD1的法向量为,则不与y轴垂直，可设n=aXc),则小C=0,7.丽=0,也即1+2=0,得卜=2,从而=(2,1,2),点E到平面ADIC的距离：DJEn_2+-2_1H.InI33(3) CE=(1,x-Z0D1C=(0,2,-1),DD1=(0,0,1),设平面D1EC的法向量=(,1,c),nD,C=0,2-c=0一由J=Jw=(2-x,1,2).wCE=0,+(x-2)=0依题意COS怠一|勿21-也-2一企4nDD.2J(X2)2+52-.西=2+6(不合，舍去)，x2=2-3.AE=2-百时，二面角DI

5、ECD的大小为卫4【例2】(2005全国)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC,ZDAfi=90,PA1JKffiABCD,且PA=AD=DC=_1AB=1,M是PB的中2(I)证明：面PAD_1而PCD；(H)求AC与PB所成的角;(In)求面AMC与面BMC所成二面角的大小.(I)证明：因为PA_1PD,PAAB,ADAB,以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0)B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,1)2AP=(0,0,1),OC=(01,0),故APDC=O,所以APDC.又由题设知A

6、D_1DC,且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC_1而PAD.又DC在面PCD上，故面PADffiPCD()W:因尼=(U,0),丽=(0,2,T),故IACI=2,PB=EACPB=2,“ZWACPBicos=AC-PB5由此得AC与PB所成的角为arccs半(I11)解：设平面ACM的法向量为=(X,y,1),由耀直于AC,4M=(0,1)得：=(-H1)222设平面BCM的法向量为机=(x,y,1)同上得W)-w结合图形可得二面角A-MC-B为-arccos,3解法2：在MC上取一点N(x,y,z),则存在4尺使正=4诟NC=(17,1-y,-z),MC=(1,0,-1

7、),：.x=-ty=,z=要使ANj.MC,只需4NMC=O即“一！？=0,解得义=254121可知当；I=W时,N点坐标为(,1,能使4NMC=0.此时,AN=(-BN=,一1,|),有BNMC=0由VMC=0,6NMC=0得:/W_1MC,8N_1MC.所以ZzvV6为所求二面角的平面角.IAN1=画J8NI=,ANSN=-.cos(AN,BN)=ANBN=_2555IAN1IBN132故所求的二面角为arccos(-).3【例3】如图，AEDE分别是00。OO1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8,BC是OO的直径，AB=AC=6,OE/AD.(I)求直线BD与EF所成的角；(H

8、)求异面直线BD和EF之间的距离.解：(I)以。为原点，BCAEOE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则O(0,0,0),A(0,-32,0),B(32,0,0),D0,-32,8),E0,0,8),F0,32,0)所以，BD=(一3五,-3,8),FE=(0,-3近,8),R)FF、BDFE_018+64_82co一版版-10设异面直线BD与EF所成角为。,贝Ucosa=cos=直线BD与EF所成的角为aos返10(II)设向量=,y,z)与BD、EF都垂直,则有-3岳-3y+8z=0=o取尸,得z=3,0-32y+8z=0=(0,8,32)BDEF之间的距离d_zQE_8x

9、3垃_24标HI2+(32)241五.提炼总结以为师1 .求线线角、线面角、二面角的方法：2 .求点面距离，线面距离、面面距离及异面直线的距离的方法:1.5. 同步练习：用空间向量求角和距离【选择题】1 .设OABC是四面体，G1是AABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1,若OG=Xoa+y05+ZOC,贝J(x,V，Z)为A(1,4面AIECF所成的角为A.arctany2B.arccos-C.arcsin-D.都不对【填空题】3 .已知空间三点A(1,1,1)、B(-1,0,4)、C(2,-2,3),则而与CA的夹角的大小是.4 .二面角a/的平面角为120。，A、B,ACa,B

10、Du,AC/,BD,若AB=AC=BD=/,则CD的长为答案提示：1.A;2,A;3.120o;4.2【解答题】5 .设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),求D到平面ABC的距离.解：.A(2,3,1),B4,1,2),C6,3,7,D(-5,-4,8),D=(-7,-7,7);设平面ABC的法向量H=(x,y,z),贝JA8=O,wAC=0,.1(x,y,z)(2,-2,1)=0,(x,y,z)(4,0,6)=0,6 卜-2，+Z=OnX=-耳北心+6Z=Oy-令Z=-2,则=(3,2,2)由点到平面的距离公式：ADnd=JInI3(-7)2(-7)-

11、27.49_49732+22+(-2)2厉17点D到平面ABC的距离为如叵.176.(2004浙江文)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=o,AF=I,M是线段EF的中点.(I)求证AMII平面BDE；(II)求证AMj_平面BDF；(In)求二面角A-DF-B的大小；解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系.设ACnBD=N,连接NE,则点N、E的坐标分别是（也,迎,0）、0,0,1）,22又点A、M的坐标分别是(2,2,0)(丝丝d2，2，NE=AM且NE与AM不共线，NEAM.又NEu平面BDE,AMa平面BDE,AM平面BDF.O),F阪),.DF=(0,),.AM。尸=0,所以AM1DF.同理4_1.8尸,又。尸18尸=尸，.AM1平面BDE(III).AFAB,ABAD,AFAD=A,.AB_1平面ADF.丽=(-I,O)为平面DA用法向量-NEDB=(-,1).(-2,2,0)=0,22NE1.NF=(-y-y-J)(y-,y-J)=。得XS1DB,7VF,标为平面BO称J法向最*.cos=.2瓶与XJ夹角是60即所求二面角4-DF-B的大小是607.(2004全国河北)如下图，已知四棱锥P-ABCD,PBAD,