课时规范练44 空间几何中的向量方法.docx

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1、课时规范练44空间几何中的向量方法1.(2023上海控江中学三模)如图,空间几何体由两部分构成,上部是一个底面半径为1,高为2的圆锥,下部是一个底面半径为1,高为2的圆柱,圆锥和圆柱的轴在同一直线上,圆锥的下底面与圆柱的上底面重合,点尸是圆锥的顶点,AB是圆柱下底面圆的一条直径,点O是圆心A4,88是圆柱的两条母线,C是弧AB的中点.(1)求异面直线P4与BC所成角的余弦值；求点B1到平面PAC的距离.解:(1)根据题意可得OP_1平面ABC,VC是弧48的中点,.OC.1AB,则以。为原点,OC为X轴,OB为y轴,OP为Z轴,建立空间直角坐标系,如图.则P(0,0,4)A(0,1,2),5(

2、0,1,0),C(1。0),西=(0,-1,-2),BC=(1,-1,0),cos_pabc_oPABC一5210,异面直线PA1与BC所成角的余弦值为噂.3(0,1,2)4(0,-1O)两=(0,1,-2),PA=(0,-1,-4),PC=(1,0,-4),设平面PAC的法向量n=(R,y,z),P7=-y-4z=0,一Jn-PC=x-4z=0,取z=1,得n=(4,-4,1),，点B,到平面PAC的距离为等=F.2 .(2023北京人大附中高三月考)如图,已知平面ABej_平面BCD,NABC=NDBC=120AB=BC=BD.(1)连接43,求证:AD_1BC;(2)求AD与平面BCD所

3、成角的大小；(3)求二面角AiD-C的余弦值.证明:作AO_1BC于点O,连接OD、因为平面ABu1平面BCDy所以AO_1平面BCD.因为NABC=NOBC=I20,所以NABO=NDBO.又AB=BDQB=OB,所以八AOBdDOB,所以NDoB=90.又。墓平面Beo,所以OA1OD,所以OAQC,OD两两垒鱼.分别以OD,OC,OA为X轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=BC=BO=I,则OB=OA=OD=.则A(0,0,yYb(0,i,0),C(00)Q(景0,0).所以而=(字0,弓)Jc=(0,1,0).所以荷近=0.所以AoJ_BC.(2)解:由知而二(WO平面

4、BCZ)的一个法向量为n1=(0,0,1).设Ao与平面BC。所成的角为,则sina=cos=1=144因为090o,所以AD与平面BCO所成角=45.解:设平面AB。的一个法向量为n2=(x,y,z),由而=(*0,弓)下二(0,4),(n2AD=-X-Z=0,可得_2/n2ABy-z=0.令J=I,则2=(1,3,1).所以COSV111,H2=In1nN=,=坐.IniI1n2I11+3+15由题知二面角A-BQ-C为钝角,故其余弦值为-日证明:8尸J(2)当a。为何值时,平面BBiCiC与平面OFE所成的二面角的正弦值最小?证明：(1)如图，3 .(2023全国甲,理19)已知直三棱柱

5、ABC-AiB。中,侧面AABiB为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CG的中点Q为棱A闰上的点乃凡14B.连接A1瓦取BC中点M,连接BM,EM.,EM分别为AGBC中点,：.EM/AB.又A：.AB/EMy则点4,B,ME四点共面,故OE泉平面481ME又在侧面BCCB中,AR7BZkMB3,FBM=ZMBH入NMB1B+NBMB=90,ZFBM+ZMB=90o,：.BF1MBi.又BF148,MBA8=B,MB,AiB喋平面A1B1ME,；BF上平面ABME,：.BF1DE.AF2=BF2+AB2=CF2+BC2+AB2=9.又A/=Fe2+ac2,4C2=8,则AB1BC.如图

6、,以B为原点,BC,84乃自为工轴J轴,z轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),C(2,0,0)4(0,2,0),E(1,1,0)典2,0,1).则丽=(1,。D,前=G1川2),设。照=1,则O(OJ,2),0WIW2.则平面BB1GC的法向量为m=(0,1,0),设平面DEF的法向量为n=(x,y9z)y(x-y+z=0.n=(1+f,3,2).则32t2-2t+14(-X+(t-1)y+2z=Ocos=/(1+t)2+32+(2-t)2要求最小正弦值,则求最大余弦值.当时二面角的余弦值最大,则囱。W时二面角正弦值最小.4.(2023湖南常德一模)如图,已知斜三棱柱ABC-AiB的底面

7、是边长为2的正三角形,力为ZkABC所在平面内一点,且四边形ABCD是菱形CWO=O,四边形ACCiAi为正方形,平面4。C1j平面A1B1Ci.求证Oj_平面A8CD;(2)求二面角C-Oa-A1的正弦值.证明:如图,取A1C1的中点M连接MD,MBi,M0.由题意可知B也B。BM=Bo=OD,所以四边形BiMOO是平行四边形.因为AiB=BICI,所以BiMIAiCi.因为四边形ACCiAi为正方形,所以OM_1A1CI.又OMnB1M=M所以AIa1.平面BMD0.又M。些平面BiMOO,所以4G_1OM.又平面4。C1J_平面48C,平面AIOc平面A1B1eI=AIGQM呈平面AIo

8、G,所以DM平面AiBiCi.又平面ABCo平面A1BICI,所以DM_1平面ABCD.因为四边形BMOO是平行四边形,所以B9DM,所以8iO_1平面ABCD(2)解:以。为坐标原点、,0C,0D,OBt所在直线分别为X轴J轴,z轴,建立空间直角坐标系如图所示,则C(1,0,0),D(0,3,0),C(1,3,1),A(-1,3,1),所以而二(1,百,0),西=(1,0,1)4B=(2,0,0),而=(0,3,0).设平面CDG的法向量为m=(xj,z)*Jnr=,即-x+yyf0令y=1,则x=5,z=-5,所以m=(5,1,-5)为平面CDC1的一个法向量.因为赤A=O1OD西二0,所

9、以历二(0,5,0)为平面AIoG的一个法向量.设二面角C-DC-Ai的大小为。,则ICoS=cos=j=丫,口=今所以sin0=1-cos26=恒.所以二面角CoG-A1的正弦值为四.775.(2023湖南长郡中学高三模拟)如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和:个圆柱拼接4而成,点G为弧CD的中点,且C,E,O,G四点共面.证明:平面BFo1,平面BCG;若平面3。尸与平面48G所成锐二面角的余弦值为卓,求直线。尸与平面A8尸所成角的大小.(1)证明:如图,连接CE由题意得NECo=NOCG=450,所以NECG=90,CE1CG,因为BCEF,BC=EF,所以四边形BCEF为平行四边形,B

10、FEC,BF1CG,因为BCJ_平面A8F,8Fg平面所以BC-1BFy因为BCCCG=C,所以1平面BCG,因为BF墓平面3尸。,所以平面8/DJ_平面BCG.解:如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系,设AF=2,AD=ty则A(0,0,0),B(0,2,0),F(2,0,0),D(0,0,r),G(-1,1,f),AB=(0,2,0)屈=(-1,1),FF=(-2,2,0),FD=(-2,0/),设平面BDF的法向量为n=,y,z),则卜丝一，即-华-5令z=2,则n=(z,r,2),(FD=0,(-2%+z=0,设平面ABG的一个法向量为m=Cy,z),AmAB=O,m而=0,即/，：

11、一_C令z=1,则m=,0,1),因为平面8。尸与平面ABG所成锐二面角的余(-%+yrtzu,弦值为W，所以ICOS=鲁2=T=，mn2t2+4t2+15解得1=2,即AD=2,因为OA_1平面A8F,所以NoEA即直线力尸与平面AB厂所成的角,在%尸中,因为NDAF=90oO=AF=2,所以NOEA=45,故直线DF与平面ABb所成的角为45.6.(2023山东日照二模)如图,在三棱锥A-BCO中,N8CO=90yBC=CD=,ZACB=ZACD=O.(1)求证:AC_18D有三个条件:。=60;直线AC与平面BCD所成的角为45;二面角4CD-8的余弦值为当请你从中选择一个作为条件,求直

12、线BC与平面ACQ所成角的正弦值.(1)证明:如图,取8。的中点O,连接O4,OC,则OCA.BD.因为BC=DC,ZACB=ZACD=.AC=AC,所以aABCgZkAOC,所以AB=AO,所以OA1BD.又OAnoC=O,所以3。_1_平面AOC.又AC平面AoC,所以AC_1BD解:在直线AC上取点P,使得NPOC=90,连接PB,PD,由（1）知8O_1平面AOC,PO是平面AoC,所以BDA.PO.又OCnBD=O,所以尸。_1_平面BCD.由知0C_13。,所以0C,OnOP两两互相垂直.以。为原点,0C,OROP所在直线分别为X轴、y轴、Z轴,建立空间直角坐标系.如图所示.因为B

13、CD=90,BC=CD=1,所以OC=OB=OD若.又Po_1平面BCO,所以PB=PC=PD.选,由。=60,可知APCO是等边三角形,所以PD=CD=IQP二号所以P（OOy）,c（景0,0）,D（0,0）,b（o,-苧,0）,所以前=（苧净0）,诧=（，-字0）月=（ry,y）.设平面PC。的法向量为n=（x,y,z）,nDC=y%yy=0,nDP=-y+z=0,2J2，取X=I,则y=z=1,所以n=（1,1,1）为平面PCD的一个法向量.设直线BC与平面PCD所成的角为,则sin=cos=四口=-=.IBCI1n1133因为平面ACD与平面PCD为同一个平面，所以直线BC与平面ACO

14、所成角的正弦值为选,由PoJ_平面BCD,可知NPCO为直线AC与平面BCD所成的角，所以NPCO=45,所以OP=OC当所以P（,y）,C（y,）,p（,y,）,B（0,-y,0）,所以就=(y,),DC=(条-今0)廊=(0,-乎,苧).设平面PCD的法向量为I1=(Xj,z),DC=yX-yy=0,nDP=-y+yz=0,取x=1,则y=z=1,所以II=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.设直线BC与平面PCD所成的角为火则sina=cos=曰.因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为6选,作PM_1CD,垂足为M,连接OM.由POJ_平面BCD,CD臬平面BCD,可知PO1CD.又POnPM=P,所以CO_1平面PoM所以CO_1oM所以NPMo为二面角A-CD-B的平面角.所以CoSNPMO=今所以tanZPM0=2.因为M=1=1所以OP=OMtanNPM。4所以P(OOy),c(,O,o),d(o