课时过关检测（五十三） 定点、定值问题.docx

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1、课时过关检测(五十三)定点、定值问题1.已知椭圆C:1+=1(力0)的右焦点F(3,0),长半轴长与短半轴长的比值为2(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不经过点5(0,1)的直线/与椭圆C相交于不同的两点MtM若点3在以线段MN为直径的圆上，证明：直线/过定点，并求出该定点的坐标.解：由题意得，。=小，号=2,a2b2+c2,:a=2,b=,椭圆C的标准方程为手+产1.(2)证明：当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=kx+m(m1)tWi,巾)，N(X2,力).y=x+,联立2J_d，一消去打IXZ+4y=4,可得(4炉+i)2+8Amx+4w2-4=0.-8km4m2-4.J=16(4

2、Ar-+1-n2)0,X+-V2=J,X1X2=424-1丁点B在以线段MN为直径的圆上，：BMBN=0.：BMBN=(x,AX1+i-1)(x2,Ax2m-1)=(21)xX2(m-1)(xX2)(w-1)2=0,42-4；(公+1)4.+AQ11)4.+1+(十-1)2=0,整理，得5户一2加一3=0,解得?=-W或W=I(舍去).；直线I的方程为j=-.易知当直线/的斜率不存在时，不符合题意.故直线/过定点，且该定点的坐标为(0,一1).2.(2023大批JaIa第nIUW)在直角坐标系XOy中，动点尸与定点尸(1,0)的距离和它到定直线x=4的距离之比是1:2,设动点P的轨迹为E.(1

3、)求动点P的轨迹E的方程;(2)设过F的直线交轨迹E的弦为AB9过原点的直线交轨迹E的弦为CDt若CD/AB,求证：僵Ir为定值.解：设点P的坐标为(马j),由题意得当普比=看将两边平方，并化简得?+V2故轨迹E的方程是t+g=1(2)证明：当直线Ab的斜率不存在时，易求得3=3,CZ)=2j,则*4jIABI明当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为A,依题恚如攵0,则直线AB的方程为y=k(-),直线CD的方程为y=kx,设A(x,y),B(X2，y)C(X3,”)，D(X4,J4)登+=1,由43得(3+4A2)2-8Br+4A2-i2=0,J=Hx-I)8女24女212则处+*2=3

4、+42,XIX2=3+4A2，CD=1+PIr3-X4=4Jp.IeDI2_48(1+的3+4d_*AB=3+4A212(1+A2)=4综合知黑=4,为定值.13 .已知抛物线C：/=一20),经过点(2,-1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设。为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为。的直线/交抛物线C于两点M,N9直线)，=一1分别交直线OM,ON于点A和点氏求证：以AB为直径的圆经过)，轴上的两个定点.解：(1)由抛物线C:2=-2Py经过点(2,-1),得p2.所以抛物线。的方程为x2-4yt其准线方程为j，=1.(2)证明：抛物线C的焦点为尸(0,-1).设直线/的方程为y=

5、k-1(kQ).(y=k-,由x2=-4y得x24-4=0.设(x,Ji),N(X2,y)9则X1r2=-4.直线OM的方程为j=11x.Xi令尸一1,得点A的横坐标XA=一*同理得点B的横坐标xf=一孑.设点0(0,)，=(Tf),凉苏=黑+5+1)2=(+*n+2=-4(n+1)2.令DBDB=即-4+(+1)2=0,得=1或=-3综上，以Ab为直径的圆经过J，轴上的定点(OJ)和(0,3).4 .(2023St阳MMMfr*ttM)已知抛物线C:y2=2px00)的焦点为Ft点A(2,2),点8在抛物线C上，且满足万7=筋一2铉(0为坐标原点).(1)求抛物线C的方程；(2)过焦点尸任作

6、两条相互垂直的直线/与P,直线/与抛物线C交于尸，0两点，直线/与抛物线C交于M,N两点，的面积记为S”2QMN的面积记为S2,求证:4+专为定值.解：(1)由苏=F济一2高，得凉+启=7济一下即京=前，二点A为03的中点,又A(2,2),5(4,4),又点片在抛物线C上，将其坐标代入V=2p,解得p=2,所求抛物线的方程为j2=4x.(2)证明：设尸(x,y)90(X2，y)fM(x39山)，N(X4，山)，HOPQ的面积Si=OFb,-J21=1J2140MN的面积S2=OF13-j4=1)j3-,J4.依题意，设直线/:x=mj1(n0),则，：X=y1.x=wv+1,将直线/与抛物线的方程联立，得I消去工，得产一4“一4=0,5=4x,J=16(772+1)O,j+jz=4m,jj,2=z-4,:1y,3,2=(y2)2-4jot2=4m2+1.同理，可得上一”|=4遍)+=军-1_i_=-1-_i_=!为左彳.SS-4(m2+1)+4(n2+1)4*;伍.