以斐波那契数列为背景的试题探究：斐波那契数列（定稿）（xiugai）+-+副本+（3）.docx

《以斐波那契数列为背景的试题探究：斐波那契数列（定稿）（xiugai）+-+副本+（3）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《以斐波那契数列为背景的试题探究：斐波那契数列（定稿）（xiugai）+-+副本+（3）.docx（5页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、以斐波那契数列为背景的试题探究(三)以斐波那契数列的模型为背景命制试题1攀爬楼梯问题【例11】小学生甲玩耍上楼梯的游戏：建筑物有10级台阶的楼梯，一步可以迈-级或两级台阶，问这位小学生有多少种不同的爬楼方法？【解析】设小学生爬个台阶有乙种方法.考虑最后一步：若最后一步只迈一级台阶,则前九-1个台阶有T种方法；若最后一步迈两级台阶，则前一2个台阶有见_2种不同的方法.由加法原理得：q=ziM+a,53),易知其初值q=1，%=2,则=4+白2=3,4=4+=5,4=8,必=04+%=13,07=%+&=21,4=R+?=34,a9=a1+as=55,a10=as+a9=89,故小学生10级台阶的

2、楼梯有89种不同的爬楼方法.【变式2】高中学生甲到教室有10级台阶的楼梯，一步可以迈一级或两级或三级台阶,问这位学生有多少种不同的爬楼方法？【解析】设学生甲攀爬个台阶有/种方法.考虑最后一步：若最后一步只迈一级台阶,则前1个台阶有。,一种方法；若最后一步迈两级台阶，则前九-2个台阶有见_2种不同的方法；若最后一步迈三级台阶，则前九-3个台阶有“_3种不同的方法.由加法原理得：an-an_x+af1_2+an_3(/:4),易知其初值q=1,%=2,a2=4,则%=4+生+%=7,a5=a2+ay+a4=13,a6=a3+a4+a5=24,a1=%+%+4=44，%=%+4+7=81,%=4+%

3、+/=149,=。7+。8+。9=274.故该学生上10级台阶的楼梯有149种不同的爬楼方法.2.覆盖问题【例12】用1x2的骨牌覆盖2x10的棋盘，问有多少种不同的覆盖方法？【解析】设用1x2的骨牌覆盖2的棋盘有种不同的覆盖方法，将棋盘横向水平放置.考虑最后一个骨牌的放法：若竖直放置，则有火种不同的覆盖方法；若横向放置，则必须与它并排放置另一块骨牌，有4种不同的覆盖方法.由加法原理得：an=an-1+art_2n3)，其初值为4=1,a2=2,因此，。3=4+。2=3,%=白2+3=5,a5=6+04=8，6=4+%=13,%=%+&=21,4=R+?=34,a9=a1+as=55,a10=

4、as+a9=89,故用1X2的骨牌覆盖2x10的棋盘，有89种不同的覆盖方法.3.0-1序列问题【例13】由0和1组成的序列称为OT序列，序列中数的个数称为这个OT序列的长度.如0100011011是一个长度为10的OT序列，求长为IO的OT序列中任何两个1不相邻的序列的个数.【解析】设长为的0-1序列中任何两个1不相邻的序列有Crt个.考虑最后一个数：如果最后一位是0,则只要前-1位任何两个1不相邻即可，因此,满足要求的序列有CnT个；若最后一位是1,则倒数第二位是0,于是只要前九-2位任何两个1不相邻即可，因此满足要求的序列有C12个，由加法原理得：G=GIGT5N3),由初值c1=2,C

5、2=3,则G=G+G=5,c4=c2C3=8,C5=G+Q=13,q=21,c7=c5+c6=34,c8=c6c7=55,c9=c1+c8=89,Go=c8C9=144,所以，长为10的OT序列中任何两个1不相邻的序列有144个.【归纳】此类与自然数有关的问题，悟出其蕴含的递推关系，建立连续三项之间的递推关系的数学模型，由初始项的数据结合递推关系求解.【变式3(1)学生甲手里有一枚质地均匀的硬币，他投掷10次，不连续出现正面的可能情形有多少种？(2)用1,2,3,4四个数字组成一个6位数，要求不允许两个1紧挨在一起，那么可以组成多少个不同的100位数？【解析】(1)设甲投掷(九2)次，不连续出

6、现正面的可能情形有种，考虑最后一次投掷：若最后一次呈现反面，则前次有勺T种方法；若最后一次呈现正面，则倒数第二次必是反面，前2次有勺.2种不同的方法.由加法原理得：4=4i+4t(4),易知其初值。2=3，%=5,则a4=a2+3=8,a5=3+4=13,6=a4+a5=21,a1=%+综=34,%=&+%=55,%=a+%=89,10=%+旬=144,所以甲投掷10次，不连续出现正面的可能情形有144种.(2)设用12,3,4四个数字组成符合条件的一个位数，有种方法.若末位是1,则倒数第二位只能是2,3或4,符合条件的有3凡一2个；若末位是2,3或4,则符合条件的有34T个；由加法原理得：a

7、n=3aw,13,j,2(n3)又=4,a2=15,所以=57,4=216,0s=819,4=9105,故用1,2,3,4四个数字可以组成符合条件的不同的6位数有9105个.4 .染色问题【例14】(2011湖北)给个自上而下相连的正方形着色.当4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示:Z由此推断，当=6时，黑色正方形互不相连的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相连的着色方案共有种.(结果用数值表示)【解析】=1,2,3,4时，黑色正方形耳不祖涯的着色方案种数分别为2,3,5,8,由此可看出后一一项总是前2项之和，故=5时应为5+8=13;=6时应为8+13=21.

8、所以=6时，所有的着色方案种数共N=C)+C；+C；+C；+C：+C；+C：=64种.故至少有两个黑色正方形那军的着色方案共有6421=43种.答案为21；43.5 .几何问题【例15半径为1的两个圆。a、。2外切，/是它们的一条外公切线，作。3和。0。2、/均相切，作。4和。2、。3、/均相切，作。川与。0_1、O。、/均相切，求。8的半径.【解析】作R1,O,SJ,过Oe作/的平行线分别交O,-R、Ot1S于P、。，作O11MONR于M,则OnM=PQ=ONP+Of1+1Q,因为0f1+1Q=Jn+iOt12-OfjQ2=(irrn-令凡=；，则-=4+%(2且q=%=1，3=+a2=2,

9、a4=a2+a3=3,a5=ai+a4=5,a=a4+a5=8,a1=a5+a=13,08=a+a1=21,所以4=-1=1=J-6 .函数问题【例16】(2012江西)观察下列各式：a+b=,tcr+b2=3;3+3=4;/+Z=7;+户=11；则，+*=A.28B.76C.123D.10【解析】设0+E=5),贝IJ/(3)=/(1)+/(2)=4,/(4)=/(2)+/(3)=7,/(5)=/(3)+/(4)=11,.通过观察不难发现：/(/?)=/(/7-1)+2),从而/(6)=/(4)+/(5)=18,/(7)=/(5)+/(6)=29,/(8)=/(6)+/(7)=47,/(9)=/(7)+/(8)=76,/(10)=/(8)+/(9)=123,故+y=123.故选C.【评注】/+b=(ai+1)(。+8)一。加1一优-七=(，-+夕T)(Q+(优-2+z2)=(q,+ZZ1)+,-2+/-2)显然符合斐波那契数列的递推关系.【例17(2012上海)已知f(X)=占，各项均为正数的数列4满足=1,a“+2=/(),若f12010=a2012,则。20+4I=-【解析】设4划0二人由Hog=a2012,得：，=解得，=百.则：+t2=f,则2008=力同理a?kI2358又2F则4=5乌=M%直4=5故%o+4=布-183+1352+13-26