《导数-深度·拔高系列讲义》 构造函数解决函导压轴小题（内附：万能积分法+不定积分详解）.docx

《《导数-深度·拔高系列讲义》 构造函数解决函导压轴小题（内附：万能积分法+不定积分详解）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《导数-深度·拔高系列讲义》 构造函数解决函导压轴小题（内附：万能积分法+不定积分详解）.docx（18页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、导剧-深度兹龙系列锦义第M篇构造晶数解决晶导及抽小墨（内附：万能积分法+不定积分详解）目录一、技能储备2情境一.常规构造2题型：指幕型2题型：三角型3题型：对数型3情境二.非常规构造4题型1：在常规构造的基础上，导数相关式中存在独立于/（x）和/（X）之外的项心）4题型2：若干常规构造模型组合（附：万能积分法）6二、拓展：不定积分8一、原函数与不定积分8二、基本积分表8三、不定积分的性质9四、计算方法9NO.1第一类换元积分法（凑微分法）9NO.2第二类换元法10N0.3分部积分法（凑微分法）11三、典型例题12一、技能储备【引例】已知函数丁= /(工)的图象关于y轴对称,且当x (-oo,0

2、),/(x) + xfx) hc B.a ch C.cba D.hac类似于引例，在已知/(x) + 0(x) 0，则可构造函数G(x)=若 /(%)；2.若/(x)r(x)。，则可构造函数G(x) = /区;ex3.若/(x) + 2/”(x) 0 ,则可构造函数G(x)=1/(x)；_则可构造函数G(x) = / /(x)， (nsN* ).4.若/。)一21(x)0,则可构造函数G(x)=4U；-Xe25.若f(x) -nfx) 0，则可构造函数6。)=畀，5wN).Ten若2/(x) + f(x) 0,则可构造函数G(x)=，(x)0若讨Xx)+/(x)o,则可构造函数G(%)=f(x

3、)e,(nwM).6 .若2/(%)-0,则可构造函数G(x)=华;e若力(x)r(x)0,则可构造函数G(x)=,5sN*).enx7 .若/(x)+x,/(x)0,则可构造函数G(x)=/(x)；8 .若x)x(x)0,则可构造函数G(x)=O,(xwO)；X9 .若2x(x)+x2-f(x)0,则可构造函数G(x)=炉.f(x).若2(x)+无/(%)0,则可构造函数G(x)=x2/(x)(注意x的正负)；若/。)+工(工)0，则可构造函数G(x)=x/(x)(注意x的正负)；10 .若公/。)-尤/(外0,则可构造函数G(x)=C(注意x的正负，的奇偶);X题型J鼠角_型【解题模型】1

4、1 .若/(工)85工+/(工)511110,则可构造函数G(x)=sinx7(x)；若/(x)+/(X)tanx0,则可构造函数G(x)=sinx-/(x)(注意x的取值范围)；12 .若/(x)cosx7(x)sinx0,则可构造函数G(x)=*；sinx若x)-(九)tanx0，则可构造函数G(x)=。(注意x的取值范围)；sinx题型：一近数型【解题模型】13 .若+lnxr(x)0,则可构造函数G(x)=lnx/(x)；X/(x)+x-Inx/r(x)0,则可构造函数G(x)=lnx(x)；14 .若)InJ(x)。,则可构造函数G(x)=(xO,xw1)；xInx若/(x)-x-l

5、nx-尸(x)0,则可构造函数G(x)=(xO,xwl)；nx情境二.非常规构造题型L-在常规构造的基础上，导数相关式中存在独立于/(幻和r(x)之外的项心)题型概述：由于导数相关式中存在独立于7(X)和广(幻之外的项，也就意味着我们通过情境一中的模型构造完函数G(7(x)之后，还存在未被构造的项，(x),此时面临的问题是：如何处理，(x),我们有如下处理策略：【解题策略】型LL导数相关式为等式【典例1】设函数/(满足0%r)+/(x)=5=/(e)=L则函数/(X)()xeA在(0,6)上单调递增，在(6,+8)上单调递减；A在(0,+8)上单调递增；C在(0,6)上单调递减，在(d+00)

6、上单调递增；D.在(0,4-00)上单调递减;典例2设函数(x)是函数/(x)(xR)的导函数，/(0)=1,且3/(x)=,f(x)-3,则4/(x)f(x)的解集为()题型L2：导数相关式为不等式(典例3若定义在(0,+8)上的函数/(%)的导数f(x)满足矿(x)+0,且/(1)=1,则下列结论一定成立的是()A/(-)0eC.Vxe(1,e),/(x)0D3xg(1,e)9f(x)-f(-)+20B./(x)xD./(x)0,则A/(x)0B.f(x)0,构造函数.【题2】已知/3+lnxr(x)O,构造函数.【题3】已知/(x)cosx+/(工)sinx0,构造函数.卜面学点枳分吧，

7、如果你也想万能二、拓展：不定积分一、原函数与不定积分定义1：若义(尤)=/(%),则称户(%)为了(为的原函数。连续函数一定有原函数；若尸(%)为了(8)的原函数，则尸(乃+C也为/(冗)的原函数;事实上，(/(x)+C)=/(x)=/(x)/(X)的任意两个原函数仅相差一个常数。事实上，由伉一小a)=k(x)-E(x)=/a)-/(x)=o,得月乙(工)=。故尸(x)+C表示了/(x)的所有原函数，其中/(x)为/(x)的一个原函数。定义2：/(X)的所有原函数称为了(X)的不定积分，记为7(x)公，J-积分号，/(X)-被积函数，工积分变量.显然/(幻公=厂(此+。二、基本积分表1、kdx

8、= kx + crxa+2、xadx=+cJ4+13、1,dx=Inx+cx4、1J7ax=arctanx+c1 +x25、dx=arcsinx+cJVT76、cosxrfx=sinx+c7、jsinxZr=-cosx+c8、9、12、fdx=sec2 xdx = tanx + cJ cosxJf-dx= fcsc2 xdx = -cotx + cJ sin xJJ exdx = ex +c13、三、不定积分的性质xfaxdx-+cJinaL土g(x)公=JV(x)公土Jg(x)公2.kfxdx=f(x)dx(kw0)四、计算方法NO.1第一类换元积分法（凑微分法）方式L+即公=d(av+/?

9、)题1、求不定积分JsinSxdx=(Jsin5xd(5x)5x=Jsinudu=-*cos6x)+Cj(l-2x)7=2x)76/(1-2x)=-1占。-2x)i+C=-(1-2x)8+C1rd(x/a)1T=arctan。Ji+(x/yaf=jLyja2-x2 J 一(x=arcsin +C方式2.f(xny-xdx=-f(xnlxxn-dx=dxn题2、求不定积分jx71 - x2 dx -j (1 -x2 丫 d(l 一 x?) = 一g .;+ll-x2)2+，+c = -1(l-x2) +c1cosd = -sin +C丁)=_/3+cdx-2cosVx6fVx=2sinVx+C方

10、式3.dx=dnx,exdx=desinxdx=-dcosx,cosxdx=dsinx,sec2xdx=t/tanxXsecxtanx公=dsecx,-dx=darctanx,-,dx=darcsinx,+厂71-x2/%dx=dja2x2,题3、求不定积J tan xdx = JsinxcosxJCOSX tc= -lncosx + C = Insecx+CcosxJcotxdx =fCOSX rdsinxdx ；= In sin x + C = In cos x+Csinx sinx!dx-xAnxy= ln(lnx) + Ci+ exln(l+ eA)+C卷AlY= x - In (1

11、+ e)+ CNO.2第二类换元法方式1.三角代换题4、JJ4-x2dx1+cos2f , a2dt = 22解：令x=osinr(或qcos，)，则-x?=qcos，dx=acostdtJMjacost-acostdt=a22222/22aa.a.xaxa-x=/dsm2t+C=arcsin+-2fC242a4aa=-a2arcsin+xyJa2-x2+C2a2题5、,=v=arcsin十C/Qacostdtacost解：令x=Qsin，=dt=t-C=arcsin+CJZJ人x=4Sinf小结：/(x)中含有Jx2+2可考虑用代换,x=otanfx2-a21x=ases方式2.无理代换例6、dx1+ Vx +1解：令乳干二八贝卜=，3_1,dx=3t2dt原叫翟=可彳口5bIt2dt = 3 - t +(2ln(l+ z) +CNO.3分部积分法（凑微分法）分部积分公式：JudV=UV-VdU简证：因为（UV）=UV+UV,UVr=（UV）-UV,于是UVrdx=（UV）dx-UVdx,故：udV=UV-vdU（前后相乘）（前后交换）口诀：“对反事三指”，分别对应对数函数、反函数、事函数、三角函数、指数函数。越往前则可认定在不定积分中充当着U,越往后则为V。例7、xcosxdxsinx=xsinx-Jsinx6tr=xsinx+cosx+C例