多维层次练19.docx

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1、多维层次练191.设函数AX)=f+ax+1nx(R).当Q=-1时，求函数/(X)的单调区间；若函数,/U)在；,31上有两个零点，求实数0的取值范围.解：(1)函数AX)的定义域为(O,+),当a=-1时，/(x)=-X2-x+1nX(X0)I12f+1则/(X)=-2x-1+=-,令/(x)=0,得X=；(负值舍去)，当0x0;当x,(x)0.所以大X)的单调递增区间为0,单调递减区间为代，+In(2)令/U)=-2+a+11=0,得Q=X-令g(x)=-竽,其中x3,1J11-1nxx2+1n-1AE则Y(X)=I、=2,令g(x)=O,得*=1,当2v1时，/(X)VO;当1x09所

2、以g(x)的单调递减区间为:，I),单调递增区间为(1,3,所以g(x)min=g(1)=1,因为函数/(X)有;，3上有两个零点，=31n3+,g(3)=3-殍，31n3+；3-号所以实数。的取值范围是(1,3竽.2.(2023全国卷III)设函数/(x)=j+加:+以曲线y=U)在点g，O处的切线与y轴垂直.求法(2)若人r)有一个绝对值不大于1的零点，证明：大幻所有零点的绝对值都不大于1(1)解：f(x)3x2+b.依题意得/=0,即：+6=0.故)=一1.(2)证明：由(1)知/(x)=3-条+c,/()=3x2-令/(x)=0,解得X=；或x=；./(X)与X)的情况为：X卜8,T1

3、2H812+8)JfG)+00+f()7c+411WZ因为/U)=/f1=c+,所以当CV；时，/U)只有大于1的零因为八-1)=/=c所以当C=时，/(x)只有小于一1的零由题设可知一;c;当c=一；时，/U)只有两个零点一；和1;当eV时，/U)只有两个零点一1和;；当一；VCV=时，/U)有三个零点X1,X19X3,且X1(-1,，)，“3(,，综上，若大幻有一个绝对值不大于1的零点，则大X)所有零点的绝对值都不大于1.3.已知函数人X)=e”一1一SinX一加f,a9ftR.当b=0,a=1时,证明:-X)在0,+8)上单调递增；(2)当Q=O时，讨论大X)的极值点.证明：由题知/(x

4、)=ex-1-six9所以/(x)=cosx,因为x20,所以-21,又因为COSX0,由/(x)=0,解得X=In4当X(-8,加)时，/(X)0,大B在上单调递增.所以大x)的极小值点为x=1nb9综上，当*0时，大好无极值点；当0时，犬幻有一个极小值点，无极大值点.4.已知函数t(x)=1nX一6，一(21),m9R.(1)若机=0,w=1,证明:W0；(2)若=0,/(x)有且只有2个零点，求实数机的取值范围；(3)若w=0,mN*,/(x)(m1)-Imx2-1,求正整数m的最小值.证明：由题知,大幻=加-*+1(x0)U)=11=qrO),所以,当x(0,1)时，f(x)0,f(x

5、)在(0,1)上单调递增；当X(1,+8)时，/(X)VO,犬幻在(1,+8)上单调递减.所以大x)y)=o.12w2(2)解：因为/Q0=1-2mx=-(x0),当n0时，f(x)O,/U)在(0,+8)上单调递增，不可能有2个零点.当机o时，令/co=。，解得所以，当0,yj时，,a)。，/W在(o,yj)上单调减.由(1)知，Inx-1,所以(x)W-1inf，4-120,八I-J1-4*1+y1-4m解得0x,2m2m,意.所以，存在0,J14巾2m所以,/U)在+n号n(o,U)，满足加)vo；表，+1,满足)v;言，力上个恰有1个零点，符合题综上，所求实数机的取值范围为(0,(3)解：令g(x)f(x)-(m1)xmx2+I=In-nx2+(1m)x+19当机0时，因为x0,所以g)0所以g(x)在(0,+8)上是递增函数；13又因为g(1)=1n1m+(1-w)+1=m+20,所以关于X的不等式/(x)0,当x+8)时，gr(x)O,(2)=-In20,乙ITI乙又因为人(M在(0,+8)上是减函数，所以当加，2时，力(MVo所以整数机的最小值为2.