专题26 构造函数法解决导数问题(解析版).docx

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1、专题26构造函数法解决导数问题一、多选题1 .函数/(力二炉一生二吆一1在(。,+8)上有唯一零点七,则()XA.xoev=1B.g不)【答案】ABC【分析】由/(力=。,可得出Z=ln(xe)令(x)=xe)x0,利用导数得出函数(力在(0,+巧上为增函数，再令g(f)=，-ln/,其中，0,利用导数分析函数g。)在(0,+a)上的单调性，可求得4=1,可判断ACD选项的正误，再结合函数(力的单调性可判断B选项的正误.【详解】由/(犬)=。，可得xe(x+lnx)左=。，即&=xe-In(xe),令=,其中元0,则M(%)=(x+l)e0,所以，函数(x)=x/在区间(0,+8)上单调递增，

2、则=0,令g(f)=，Tn/,其中，0,=l；=.当0/1时，g(/)i时，/(0o,此时函数g(。单调递增.所以，g()vn=g(l)=L若函数/(X)在(0,+)上有唯一零点方,则Z=l.所以，(/)=%*=1,由于函数(“在(O,+8)上单调递增，/1r/1*/u=1,即(%)(1),Xq0,对于函数g(x)二绰，下列结论正确的是()eA.函数g(x)在(-,-1)上为增函数B.X=-l是函数g)的极小值点C.函数g(x)必有2个零点D.e2f(e)eef(2)【答案】BD【分析】对函数g(X)求导，求出单调区间和极值，可判断选项A,B；根据极小值的大小可得函数的零点个数，判断选项C；利

3、用g(x)在(-1,+8)上为增函数，比较g(2)与g(e)的大小关系，判断出选项D.【详解】函数g(x)=华，则出)(小小),ee当X1时，r(x)-/(x)0,故g(x)在(一L+OO)上为增函数，A错误；当XV1时，/(X)x)0,则y=g。)没有零点，故c错误；g(x)在(T+00)上为增函数,则gVg(e),即里化简得D正确;eee故选：BD【点睛】本题考查导数在单调性中的应用，考查函数的极值，考查函数的零点问题，考查利用单调性比较大小，属于中档题.3 .设定义在R上的函数力满足力+力=X2,且当xwo时，r(x)v了.己知存在%ex|/(x)-x2y(l-x)-(l-x)2,且玉)

4、为函数g(x)=-小一Q(4R,e为自然对数的底数)的一个零点，则实数。的取值可能是()A.B.C.-D.&222”【答案】BCD【分析】先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可.【详解】解：.令函数7(幻=/(幻一；/,因为/(T)+/(x)=f,T(x)+7(-x)=/(x)-1x2+/(-x)-；(-x)2=f(x)+f-x)-x2=0,T(x)为奇函数,当用,o时，r(%)=fx)-xo, T(x)在(3,0上单调递减， T(x)在R上单调递减. ,存在%e(x|T(x).T(l-x),.,.得丁(玉).丁(1一天)，%

5、,1即“,2g(x)=ex-4ex-a；(x,g),.玉)为函数y=g。)的一个零点;当工，；时，g(x)=ex-8人,0,二函数g(x)在心；时单调递减,a1由选项知。o,取冗=一改5,.要使g(x)在X,不时有一个零点,只需使=八一;八一4,0，解得立，2 。的取值范围为,+00,2L/故选：BCD.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键.综合性较强，运算量较大，属于中档题.4 .已知函数的导函数为尸(可，若x)4(x)第,小/142【答案】BD【分析】先设g(x)=/2，=X(0,+8),对函数求导，根据题中条件、分别判断设g(x

6、)和久为XX的单调性，进而可得出结果.【详解】设g(x)=，力(幻=幺2xe(0,+oo),XX则= /(x)T-2M/(、X4矿(x)2/(x)+ x，二VV)-/(.r)0.乙因为/(%)才。)2/(%)一X对X(0,+OO)恒成立，所以g(x)0,所以g(力在(O,T8)上单调递减,人(力在(0,+8)上单调递增,则g(l)g，人，即瞥1吟心，幽即殁+二/(1)殁1- 2-12422故选：BD.【点睛】本题主要考查导数的方法判定函数单调性，并根据单调性比较大小，属于常考题型.5 .已知函数“X）的定义域为（0,+e）,导函数为尸（力，矿（x）/（x）=xlnx,且/-=,，则（）C.0/

7、(1)0,.B错误，A、D正确故选：ACD【点睛】本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题.6.若存在实常数k和人使得函数/(力和G(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足：F(x)kx+b和G(x)依+/?恒成立，则称此直线y=为/(力和G(x)的“隔离直线”,已知函数=,g(x)=-(x0),/z(x)=2elnx(6为自然对数的底数)，则()XA.内单调递增;B. “X)和g(x)之间存在“隔离直线”，且的最小值为T；C. 和屋力之间存在“隔离直线。且左的取值范围是-4；D. /(x)和用力之间存在唯一的“隔离直线y=2Gx-e.【答案】ABD【分析

8、】令m(x)=/(x)g(x),利用导数可确定根(“单调性，得到A正确;设/(x),g(x)的隔离直线为y = +人xkxbN0根据隔离直线定义可得不等式组定+/对任意X(YO,0)恒成立；分别在左=0和k0两种情况下讨论满足的条件，进而求得女涉的范围，得到8正确，C错误；根据隔离直线过/(x)和(力的公共点，可假设隔离直线为丁=-攵五+e；分别讨论攵=0、k0)恒成立，从而确定k=2G，再令G(x)=2jx-e-/z(x),利用导数可证得G(力NO恒成立，由此可确定隔离直线，则O正确.【详解】对于A，.m(x)=/(x)-g(x)=x2,i2(1、/.m(x=2x+,m(x)=2=21三,，

9、x2-T0，.加(%)单调递增,5/2/A正确;对于8,C,设/(%),g(x)的隔离直线为y = fcr+b,x2Nkx + b则彳1kx + h1x对任意工(-8,0)恒成立，即对任意XW (yo,0)恒成立.由日2+法一10对任意X(YO,0)恒成立得：kQ.若左=0,则有b=0符合题意；若k0则有f如一b20对任意w(to,0)恒成立，.)二12-丘一的对称轴为工=人0,二4=22+4/?0,.,.640；2b又y=2+灰_的对称轴为x=-0,/.A7=/?2+4Z：0；2k-k2-4b,、即.k416b2-64k,：.kQ；b4k同理可得：b4l6k2-64bf/.Z?0；综上所述：

10、-40,-4b()恒成立,若=0,则We20(x0)不恒成立.若k0,令(x)=f对称轴为x=g0.(力=%2一+z8-e在(0,G)上单调递增，乂(&)=e-Z8+%G-e=0,故k0)不恒成立.若Z0,(x)对称轴为1二0,若”x)20恒成立，则A=2240五一e)=(A2五W0,解得：k=2&.此时直线方程为：y=2&xe,下面证明hx)2ex-e,令Gx)=2yex-e-hx)=2!ex-e-2enx,则Gx)=2(*),当x=时，G(x)=0；当0x0；当x=G时，G(x)取到极小值，也是最小值，即G(x)疝。=G(8)=0,/.G(x)=2yjex-e-hx0,即(x)Jex-e,函数/(x)和MH存在唯一的隔离直线),=2Gxe,。正确.故选：ABD.【点睛】本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解隔离直线的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题；难点在于能够对直线斜率范围进行准确的分类讨论，属于难题.7 .已知定义在0,-上的函数/(x),/(X)是/(x)的导函数，且恒有cos4(x)+sin4Xx)0成立，则2)()C.f(71D.【答案】CD【分析】/(x)根据题意，令g(x)= 2, xe 0,g ,对其求导分析可得g(x)/(%)cos2xTT又