重难点突破02 向量中的隐圆问题（四大题型）（原卷版）.docx

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1、重难点突破02向量中的隐圆问题目录题型一：数量积隐圆U题型二：平方和隐圆向量中的隐圆问题题型三：定幕方和隐圆题型四：与向量模相关构成隐圆方法技巧总结技巧一.向量极化恒等式推出的隐圆乘积型：PAPB=定理：平面内，若AB为定点,旦行丽=2,则尸的轨迹是以M为圆心为半径的圆.1证明：由R4P8=4,根据极化恒等式可知，PM2-AB2=A,所以PM=4以“为圆心+AS2为半径的圆.技巧二.极化恒等式和型：PA2+PB2=A-AB2定理：若A,8为定点，?满足f+户由=%,则尸的轨迹是以AB中点M为圆心，J_2为半径的圆。(-AB20)Ia-AB2证明：PA2+PB2=2PM2+(-AB)2=,所以R

2、W=V1,即P的轨迹是以AB中点M为圆-A2心，VI一为半径的圆.技巧三.定嘉方和型mPA2+PB1=n若A,8为定点，-PA2+nPB2=n,则P的轨迹为圆.mPA2+nPB2=A证明：fnPA2+PB2=n词(X+c)2+1+f(-c)2+y2=n=(Zn+I)Cr2+y2)+2c(n-1)x+m+1)c2-=O222(?-I)Cc2(m+i)-n八=x2+yi+-+-=0.n+1m+1技巧四.与向量模相关构成隐圆坐标法妙解必考题型归纳题型一：数量积隐圆例1.(2023上海松江校考模拟预测)在A8C中，AC=3,BC=4,C=90.尸为ABC所在平面内的动点,且PC=2,若CP=IC4+C

3、B,则给出下面四个结论：42+的最小值为-；PAPB的最小值为-6；4+的最大值为了；RVPB的最大值为8.4其中，正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4例2.(2023全国高三专题练习)若正”8。的边长为4,。为二ABC所在平面内的动点，且RA=I,则P3PC的取值范围是（）A.3,15B.9-23,9+23C.9-33,9+3D.9-43,9+43例3（2023山东荷泽高一统考期中）在JIBC中，AC=5,BC=12,NC=90。.P为“1BC所在平面内的动点，且PC=2,则尸AP8的取值范围是（）A.-22,26B.-26,22C.-30,22D.-22,30变式1.（2023全国

4、高三专题练习）已知“SC是边长为4J的等边三角形，其中心为O,P为平面内一点，若OP=I,则P4P8的最小值是A.-11B.-6C.-3D.-15变式2.（2023北京高三专题练习）&ABC为等边三角形，且边长为2,则AB与BC的夹角大小为120,若,4=1,CE=EA,则AI）8E的最小值为.变式3.（2023全国高三专题练习）已知圆Qf+y2=i6,点p（1,2）,例、N为圆。上两个不同的点，且PMPN=O若PQ=PM+PN，则IPQ1的最小值为.题型二,平方和隐圆例4.（2023全国高三专题练习）已知力Cd是单位向量，满足。_1力,?=。+26|阳-。|2+|机-江=20,则Ic-dI的

5、最大值为.例5.（2023上海高三专题练习）已知平面向量玄、PB满足|尸川2+PF=4幅,设置=2期+薪,则IPCk.例6.（2023江苏.高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知点A（2,0）,3（0,2）,圆C:（x-d+尸=1,若圆C上存在点/,使得IMA12+|例3=12,则实数。的取值范围为（）A.1,1+22B.1-22,1+2JC.1,1+22D.1-,1+2变式4.（2023江苏高二专题练习）在平面直角坐标系屹V中，已知直线/+y+=O与点40,2）,若直线/上存在点M满足IMA+|Ma=O（。为坐标原点），则实数。的取值范围是（）A.（-5-1,T5-1）B.-y5-,5-C.

6、（-22-1,2-1）D.-2&-1,2血-1变式5.（2023宁夏吴忠高二吴忠中学校考阶段练习）设A（-2,0）,B（2,）,O为坐标原点，点尸满足P2+P216,若直线依-y+6=0上存在点。使得NPQO则实数k的取值范围为（）A.-42,42B.(-xj,-4u4,+8)变式6.（2023江西吉安高三吉安三中校考阶段练习）在平面直角坐标系xy中，已知圆C：（x1/+/=2,点A（2,0）,若圆C上存在点M,满足MA2+。20,则点M的纵坐标的取值范围是.题型三：定塞方和隐圆例7.（2023湖南长沙高一长沙一中校考期末）已知点A（T,0）,8（2,0）,直线/：h-y-5A=0上存在点人使

7、得2+2P82=9成立，贝IJ实数人的取值范围是.例8.（2023浙江高三期末）已如平面向量、b、c,满足W=3J,忖=2,卜卜2,从=2,则（-b）（-c）-（a-b）（-c）的最大值为（）A.1923B.192C.48D.4小例9.（2023河北衡水高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量q,4的夹角为60，向量C满足/-（20+&）1+|=0,若对任意的fwR,记ICTq1的最小值为M,则M的最大值为A.1避B.C.1+MD.1+32424变式7.（2023江苏高三专题练习）已知，匕是两个单位向量，与，。共面的向量C满足c2-（a+b）c+ah=Ot则同的最大值为（）A.22B.2C.

8、J2D.I变式8.（2023浙江舟山高一舟山中学校考阶段练习）已知、e是平面向量，e是单位向量.若a-4ae+2e=0/72-3be+2e=0,则-加力+力?的最大值为-变式9.（2023四川达州高二四川省大竹中学校考期中）已知：，%,是平面向量，W是单位向量若非零向量：与；的夹角为彳，向量办满足_5+4=0,则所的最小值是-变式I0（2023全国高三专题练习）已知平面向量、bce满足“1，=2忖，=+，卜卜1,12若-6e+8=0,则的最大值是.变式11.（2023河南南阳南阳中学校考模拟预测）已知、力、：是平面向量，同=1,若非零向量d与的夹角为三，向量b满足/-4be+3=0,则K-M的

9、最小值是.题型四：与向量模相关构成隐圆例10,（2023辽宁大连大连二十四中校考模拟预测）已知,4c是平面内的三个单位向量，若_1力，则p+2c+忸+2-2c的最小值是.例11（2O23上海高三专题练习）已知都是平面向量,且Ia1=I24|=|5-。|=1,若（。，4=（,则Ib-dI+1c-dI的最小值为.例12.（2023,上海金山统考二模）已知、方、小都是平面向量，且卜卜-*忸-=1,若G，4=7,贝贴一小卜一的最小值为.变式12.（2023全国高三专题练习）已知线段MN是圆U（X-I）?+），=8的一条动弦，且IMNI=26，若点尸为直线2x+y+8=0上的任意一点，则卜M+丽的最小值

10、为.变式13.（2023全国高三专题练习）已知。为坐标原点，A,B在直线Ay-4=0上，AB=20,动点M满足IMAI=2MB,则IoM的最小值为.变式14.（2023全国高三专题练习）己知n,b是单位向量，b=O若向量C满足|c-a-例=1,则ICI的最大值是.变式15.（2023新疆高三新疆兵团第二师华山中学校考阶段练习）已知是、人是单位向量，b=O,若向量C满足c-+W=2,则ICI的最大值为变式16（2023全国高三专题练习）已知力石是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量C满足(ac),-2C)=0,则Id的最大值是.变式17.(2023全国高三专题练习)已知平面向量、氏C满足：。与。的夹角为-,(c-6)(c-)=0,p+2=2,记M是k-A叫的最大值，则M的最小值是.变式18.(2023全国高三专题练习)已知向量，人满足2+0=3,忖=1,则W+2+4的最大值为变式19.(2023全国高三专题练习)已知向量。,力,。满足,卜4,欠=2=5，1-。卜-8)=-1,则卜一4的最大值为.变式20.(2023全国高三专题练习)设，Z,为单位向量，则|。+目+卜-3可的最大值是