实变函数课程标准.docx

《实变函数课程标准.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实变函数课程标准.docx（10页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、实变函数课程标准一、课程概况课程名称实变函数课程代码20104303适用专业数学与应用数学开课学期第5,6学期课程性质专业选修课程学时/学分68/3预修课程解析几何、数学分析、高等代数、复变函数二、课程目标课程目标1:掌握集合的运算与分类，深刻理解和掌握可数集与不可数集的概念及性质。掌握度量空间、聚点、内点、界点、开集、闭集和完备集等基本概念，以及直线上开集、闭集和完备集的构造，了解康托尔三分集的构造及性质。掌握外测度与测度的概念与性质，会运用可测集的性质找出所有可测集类。掌握可测函数的定义、等价条件及性质，了解叶果洛夫定理及鲁津定理，以及依测度收敛的定义和性质。掌握非负简单函数、非负可测函数

2、、一般可测函数勒贝格积分的定义及性质，感受建立勒贝格积分理论体系的思想、方法和发展。让学生在学习实变函数的过程中领悟到它对初等数学的指导作用。从具体的知识、方法和思想观点上找到高等数学与初等数学的“结合点”，培养学生理论的深度去理解与掌握所学内容，具备更深层次分析与理解问题的意识与能力。课程目标2：具备统一研究直线、平面、三维空间与n维欧氏空间中测度与勒贝格积分的能力，提升在较高理论水平的基础上处理数学分析相关问题的能力；培养运用勒贝格积分处理被积函数与积分点集更加一般化的积分问题的能力以及抽象思维能力；进一步强化学生的逻辑思维能力与逻辑推理能力。通过本课程的学习，为进一步学习后继数学知识打下

3、坚实的理论基础。课程目标3：了解实变函数的形成和发展过程，强化勒贝格积分的基本思想，掌握从黎曼积分推广到勒贝格积分的方法，深入理解黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别。了解测度论由特殊到一般，具体到抽象的研究方法。丰富学生发现问题、探索问题、解决问题进而获取新知识的思维方法。通过实变函数课程的学习，使学生逐步掌握现代数学的基本思想和方法，具有初步的科研能力和一定的发展潜能。课程目标备了解实变函数与数学其它分支、物理学、工程学的联系，增强学生应用数学的信心；感受实变函数之美，激发学生反思和终身学习数学的热情，培养对数学的良好情感。三、课程目标与毕业要求的关系1、课程目标与毕业要求的对应关系毕业要求指

4、标点课程目标教育情怀2.1具有良好的从教意愿，认同教师工作的意义和专业性，具有积极的情感、端正的态度、正确的价值观。课程目标1课程目标2课程目标4学会教学学科素卡3.1掌握数学学科的基本原理、基础知识、基本方法、基本思想，了解现代数学分支的基本知识和专业发展趋势。课程目标1课程目标2课程目标33.3了解数学与物理和计算机等其他相关学科的联系，理解数学在社会生活的实际应用价值。课程目标1课程目标4教学能力4.3会用恰当的方法对学生的学习过程、学习进展和学习效果进行多元化评价，并能依据评价结果改进教学，不断提高教学研究能力。课程目标2课程目标3课程目标4学会发展学会反思7.1掌握数学教学专业发展规

5、律，具有数学教学反思意识，树立终身学习理念。能够利用反思改进教学手段、针对教育教学工作中的现实需要与问题和国内外学科发展趋势做纵深对比，进行探索和研究，初步具备数学教学研究能力。课程目标1课程目标2课程目标3课程目标47.2具有批判性思维与独立思考能力，掌握反思笔记、观察、行动、叙事分析等反思教学的基本方法和技能。课程目标1课程目标2课程目标3课程目标42、课程目标与毕业要求的矩阵关系图名称践行师谯学会教学学会育人学会发展师德规范教育情怀学科素养教学能力班级管理综合育人学会反思沟通合作1.11.21.32.12.22.33.13.23.34.14.24.35.15.25.36.16.26.37

6、.17.27.38.18.28.3实变函数MHHMMM课程目标1MHHHM课程目标2MHMMM课程目标3MMMM课程目标4MHMHM四、课程教学要求与重难点序号课程内容框架教学要求教学重点教学难点1集合了解集合的基本概念。理解映射、对等和基数的概念，理解一一对应的思想，理解并能应用伯恩斯坦定理。深刻理解可数集及其基数的定义，理解可数集是最小的无限集。理解不可数集合的确切定义。熟练掌握集合的并、交、差等运算，正确地运用De-Morgan公式，熟悉上下极限集的并交表达式，掌握单调集列的极限集。掌握验证二集对等的基本方法。掌握本节中几个定理及其证明方法，并能运用它们证明一个集合为可数集。掌握（0,1

7、）的基数大于可数基数的证明方法，掌握连续基数概念，并掌握本节中几个定理的证明方法，会证明一个集合具有连续基数。集合的基本概念、集合的基数（特别是可数基数与连续基数）、一一映射和Bernstein定理集合列的上下极限及构作映射和确定集合的基数。有限集与无限集的区别，能否与其真子集对等是区别两者的关键2点集了解“S1）维欧氏空间中开集的构造性质。刻理解欧氏空间中的距离、领域、点列收敛等概念，弄清它们在刻划不同类型的点及点集中的作用，理解距离的性质、点到集合的距离、两集合之间的距离、集合的直径等概念，理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念。深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的概念，弄清他们的

8、区别与联系；理解并掌握开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概念，对一个已知的点集E,会求与它相关的点集。掌握开集、闭集和完闭集的概念、性质及相关定理；理解Heine-Weierstrass有限覆盖定理。掌握宜线上开集、闭集、完闭集的构造。理解稠密与疏朗的概念，深入理解Cantor集的构造与性质。介绍欧氏空间中的内点、外点、界点、聚点、孤立点及开集、闭集、完备集等基本概念,一个重要点集（康托尔集）的构造与性质，直线上开集、闭集的构造与内点、聚点等概念及有关定理的证明3测度论了解一些集合可测的充要条件。了解不可测集的构造思路和步骤。理解区间及有理点集的外测度及其证明方法。深刻理解可测集的定义，学会用

9、卡拉泰奥多里条件验证集合的可测性。掌握（1ebeSgUe）外测度的定义及其基本性质。掌握并能运用可测集的性质。熟悉并掌握用开集、闭集、4型集、吊型集，刻画可测集的几个定理，弄清可测集类和Bore1集类之间的关系。勒贝格测度,勒贝格测度的性质，勒贝格可测集，勒贝格可测集的性质及与Bore1集的关系外测度的定义及可测集概念的导入4可测函数JZ解几乎处处收敛与基本上一致收敛的关系。理解可测函数的简单函数列逼近定理。理解叶果洛夫定理及其证明。理解可测函数与连续函数的关系即鲁津定理，理解集合E上连续函数的概念。理解依测度收敛的概念，弄清测度收敛和处处收敛的关系。掌握可测函数的定义及其充要条件以及可测函数

10、的基本性质，并运用它们讨论函数的可测性。可测函数概念及性质、依测度收敛概念、叶果洛夫定理、鲁津定理、里斯定理及勒贝格定理以上定理的证明、依测度收敛概念的理解5积分论了解1ebeSgUe积分的极限定理比Riemann积分极限定理优越。弄清由非负简单函数的勒贝格积分到非负可测函数的勒贝格积分，再到一般可测函数的勒贝格积分逐步逼近定义的基本思想。理解并能运用积分的极限定理，弄清三大收敛定理之间的关系，理解截口、下方图形等概念，理解FUbini定理，并能运用它来证题。掌握并能运用积分的性质，与R积分作比较，弄清二者的关系。掌握一般意义下积分的性质，并能熟练地加以运用。勒贝格积分的定义及其基本性质以及勒

11、贝格积分的三个极限定理定理的证明五、课程教学内容、教学方式、学时分配及对课程目标的支撑情况序号课程内容框架教学内容教学方式学时支撑课程目标1集合集合的表示，集合交、并、差运算的概念，参与交并运算的集合从两个、三个到有限个，再到一列集合，最后到一族集合，摩根定律的推广，两个分配律的推广。集合列的上极限与下极限的概念与性质，递增集合列与递减集合列。讲授、小组合作4课程目标1课程目标2课程目标4集合对等的概念，按对等给出集合的分类，集合基数的概念，集合基数的伯恩斯坦定理。可数集合的定义，可数集是最小的无限集,其基数为可数基数,可数集的子集为可数集或有限集，一列可数集的并是可数集，有理数集是可数集，有

12、限个可数集的卡氏积是可数集，全体代数数的集合是可数集。讲授、课堂讨论4课程目标1课程目标2不可数集合的定义，开区间(D是不可数集，其基数是连续基数cc,任意区间的基数为J一列基数为C的集合的并基数为c,一列基数为C的集合的尺氏积基数为Ce维欧氏空间的基数为c,一个集合帚集的基数大于其本身的基数。讲授、探究、课堂讨论4课程目标1课程目标2课程目标3课程目标42点集一般集合中距离的定义，度量空间的概念，称维欧氏空间中常用距离，从距离出发导出的邻域，收敛点列，两个集合的距离，集合的直径，有界点集等概念，以及区间概念的推广。聚点、内点、外点、界点、孤立点等概念及其性质，集合的开核、导集、边界、闭包等概

13、念及性质。讲授、课堂讨论4课程目标1课程目标2课程目标3课程目标4开集闭集的定义及简单充要条件，任何集合的开核是开集，导集和闭包是闭集，开集闭集的对偶性，任意多个开集的并是开集，任意多个闭集的交是闭，有限覆盖定理，称维欧氏空间紧集与有界闭集的等价性，完备集的定义与例子。讲授、PPT辅助、课堂讨论4课程目标1课程目标2课程目标3直线上开集、闭集、完备集的构造定理。康托尔三分集构作及其四个性质：完备性、没有内点、长度为零、基数为c。讲授、PPT辅助、课堂讨论2课程目标1课程目标2课程目标33测度论外测度的定义及三条性质：非负性，单调性和次可数可加性。可测集是勒贝格积分的一个构成要素，可测集的卡拉泰

14、奥多里(CaratheOdOry)定义，可测集的简单充要条件，一列可测集的交与并是可测集，可测集的可数可加性，单调可测集列的性质。讲授、探究、课堂讨论6课程目标1课程目标2课程目标3利用可测集的性质找出所有的可测集类：外测度为零的集合是可测集合，称为零测度集、区间是可测集、开集闭集是可测集、博雷尔集是可测集。两类特殊的博雷尔集：d型集和外型集。一般可测集的构造：任一可测集是一个型集G中挖掉一个零测度集；任一可测集是一个屏型集户并一个零测度集。讲授、探究、课堂讨论4课程目标1课程目标2课程目标3利用可测集的平移不变性，构作闭区间的一个不可测子集，并用反证法和测度的可数可加性证明。讲授、课堂讨论2课程目标1课程目标2课程目标34可测函数可测函数是勒贝格积分的另一个构成要素。利用可测集来定义可测函数，可测函数的四个等价条件。区间上连续函数推广到一般点集上的连续函