椭圆知识点总结_4.docx

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1、椭圆知识点知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点尸到两个定点K、B的距离之和等于常数(|月+Pg卜2I6国)，这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若(IpE+p卜馆周)，则动点P的轨迹为线段月产2；若(IPK+pf2bO),其中/=/一/2.当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：=1(tzO),其中/=2一；注意：1.只有ab当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程;2 .在椭圆的两种标准方程中，都有(。人0)和。2=。2一从：3 .椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在X轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0),(-

2、c,0)；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c),(0,-c)知识点三：椭圆的简单几何性质X2y2椭圆：r+2=1(b0)的简单几何性质a-b-(1)对称性：对于椭圆标准方程J+=1(hO):说明：把X换成一元、或把y换成一外或把3aZr22y同时换成-x、-y、原方程都不变，所以椭圆+2T=I是以X轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并ab且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。(2)范围:椭圆上所有的点都位于直线x=o和y=8所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足,y(3)顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆十=(ab0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四

3、个顶点，坐标分别为A1(-d,0),abA2(,0),B1(O,-/?),B2(O,Z?)线段AA2,均当分别叫做椭圆的长轴和短轴，IA1A2=2a,IB1B2=27o。和人分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。(4)离心率：2cC椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作6=一=一。2aa因为(c0),所以e的取值范围是(0e=的图像中线段的几何特征(如下图)：(1) (IPE+P=2);P=p1111IPM1IPM2I)2(PM1+pm2=-);(2) (WEBF2=a)；(OF1=OF2I=c);A,B=A2B=2+/?2；(3) IA1F1=A2=a-ciIA1F2=A2F1

4、=a+c；a-c匕0)的区别和联系a-ba-b-标准方程2y2茄+乒=1(。)y2i-=,0)图形y1%性质焦点K(-C,O),B(C,0)F1(0,-c),F2(O9C)焦距IFM=2cIKK=2c范围IX,yWbIXb,Iy对称性关于X轴、y轴和原点对称顶点(4,0),(0,)(0,a),(,0)轴长长轴长=2。，短轴长二功离心率e=-(Oe80)的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有ab-a-b-30)和e=9(0ebO）,（cO）,且（/=b?+C2）o可借助右图理解记忆：显然：C恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、C为两条直角边。3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭

5、圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看N?,V的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4.方程A+不，2=C（A,8,。均不为零）是表示椭圆的条件方程Ar2+为2=C可化为生1+”=1,即（+孥=1,所以只有A、B、C同号，且AB时,CCCCABcCCC方程表示椭圆。当上上时，椭圆的焦点在X轴上；当上bO）共焦点的椭圆方程可设为abv.2v2+7=（m-b2）,此类问题常用待定系数法求解。a+mb-Vtn7 .判断曲线关于X轴、y轴、原点对称的依据：若把曲线方程中的X换成-,方程不变，则曲线关于y轴对称；若把曲线方程中的y换成-y,方程不变，则曲线关于X轴对称；

6、若把曲线方程中的x、y同时换成-工、-y,方程不变，则曲线关于原点对称。8 .如何求解与焦点三角形APFF?（P为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形aPFE有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式Sp/IP用XIP用XSinNK尸鸟相结合的方法进行计算解题。将有关线段归片NP周、出国，有关角NEPB(N耳PBN耳8尸2)结合起来，建立I尸国+P周、IPEIXIP段之间的关系.9 .如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e=f(Oe1),因为C?=282,a，。,a用。、6表示为e=1-(,)2(oei)。显然：当2越小时，e(Oev1)越大，椭圆形状越扁；当2越大，e(Oe.y-两式相减得=0,1,X-X2Xi+及y-yy-y=0,bX-2SXO+._Bx。.故Kin21.1ayQ