专题11 代数法解决的最值模型(原卷版).docx

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1、专题11代数法解决的最值模型【例题选讲】例2设尸1，尸2是椭圆Ei的左右焦点，P是椭圆E上的点，则IPR卜FBI的最小值是.答案16解析由椭圆方程可知a=5,c=3,根据椭圆的定义，有俨尸2=2IPFi1=IO-IPFib故IPQHPBI=IPW(10IPKI),由于PA0-c,+c=2,8注意到二次函数y=x(10-x)的对称轴为x=5,故当x=2tx=8时，都是函数的最小值，即最小值为2x8=16.X2V21(8)如图，焦点在X轴上的椭圆彳+方=1的离心率S=/,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF%的最大值为C答案4解析设尸点坐标为（X,优）.由题意知=2,因为C

2、=,所以C=1，於v2-a2c2=3.故椭圆方程为;+=1.所以一2xoW2,_3o3.因为F（1,0）,一A（2,0）,PF=（-xq,泄），P=（2xo,一和），所以P=-沏-2+M=而沏+1ff=7即一2)2.即当沏=一2时，PP取得最大值4.(9)在等腰梯形ABC。中，AB/CDt且IAB1=2,IADI=1,CD=2f其中x(0,1),以A,8为焦点且过点O的双曲线的离心率为约，以C,O为焦点且过点A的椭圆的离心率为62，若对任意XE(O，1)，不等式，Ve1+c2恒成立，贝h的最大值为()A.3B.5C.2D.22答案B解析由平面几何知识可得伊O1=IACI=ViV,所以福二，及2

3、12/1+4-1=I,所以e62=1.因为e+e2=e+-=T2在(0,1)上14x1白14-12单调递减，所以e+./一二14_I=小因为对任意(0,1),不等式/VeW+41z+2恒成立，所以fW小，即/的最大值为小.(10)己知为，B分别是双曲线,一g=1(必)，比0)的左、右焦点，且IQF2=2,若P是该双曲线右支上的一点，且满足PR=2PB,则4PRB面积的最大值是()45A.1B1CQD.2PFi=2PF2,答案B解析CPA=4,PF2=2,设NQPF2=,cos。1PF-PF2=2,162+4245a21.“1Cr,“25a4-10u2116=24aX2a=4f*W4PRB=仿X

4、44X2XSme）2=164（1-前）=不-92-）2y,当且仅当标=方时，等号成立，故S的最大值是今故选B.（11）己知双曲线:一方=I（G0,0）的左、右焦点分别为尸1,尸2，过F1且垂直于X轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两点,AF2f8反分别交y轴于P，。两点，若aPQB的周长为16,则备的最大值为.由题意,得A45B的周长为32,A尸2+8尸2+A5=32,A尸2+|8尸2-HB=4,IAB1=-=324af/.b=ySaa2(OaS),言j,令Crt1b8(/-1)(/-I)2/10/92/9110A1=+(i-9m2+io”?-1,当n=-2-9)=,即a=t力=烁时，亮Y的最

5、大值为9-1=.(12)设O为坐标原点，P是以尸为焦点的抛物线j2=2pxS0)上任意一点，M是线段P尸上的点，且IPM=2M,则直线OM的斜率的最大值为()a2r2r23力321答案C解析如图所示，设Pao,yo)(yo0),则M=2pM),即Xo=4.设Ma,y),由PM=2MF,得过点Pa0,I),则一17=(o-),i4=*2(o-)即的,M是方程一i7=5(XoX)的两根，则x+m=2xo,XIX2=-4,设直线AB的方程为y=kx+bt联立j1fy=k-rb,r=则S08=y公十11得X24kx4b=O,则xX2=4=4,即b=I,AB=+Px刈=71+47(汨+工2)24%及=，

6、1+A4J+16,O到直线AB的距离dA8d=+422,即AAOB的面积的最小值为2,故选B.)2=X,Ix=my-t(16)己知产为抛物线V=X的焦点，点A,8在该抛物线上，且位于X轴的两侧，OAOB=2(其中O为坐标原点)，则AA尸O与ABFO面积之和的最小值是.答案乎解析=y1-my-t=O,j5,2=w,2-丁点A,8位于X轴两侧，“通=一0,；r0.又OAOB=2y)y2-(yy2)2yy2-t2-t=2f解得t=2或/=-1(舍去).*.SafoSbfo=0*1-,2=1y一竺|=/坐AFO与ABFO面积之和的最小值为乎.法二：设Aay),Sg,J2).VOA-OB=xx2+yy2

7、=(yy2)2+yy2=2fyV2=2或yM=1(舍去).S&AFOSro=1fy21=)-2y2=I1vI21v2242上y2yy2+4=g【对点训练】21 .已知尸,B分别为椭圆C：ff=1的左、右焦点，点E是椭圆。上的动点，则前旗的最大值、最小值分别为()A.9,7B.8,7C.9,8D.17,8_222 .(2018浙江)已知点P(0,1),椭圆+)?=(/?QI)上两点A,B满足崩=2而，则当?=时，点B横坐标的绝对值最大.v2223 .已知点尸1，尸2分别是椭圆会+汽=1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那么I标+淀I的最小值是()A.4B.6C.8D.10、224 .已知点

8、A在椭圆总+=1上，点P满足AP=(21)O/(2WR)(O是坐标原点)，且AOP=12,则线段。尸在X轴上的投影长度的最大值为.25 .椭圆?+9=1的左、右焦点分别为人，F2,过椭圆的右焦点B作一条直线/交椭圆于P,。两点，则4RPQ的内切圆面积的最大值是.26 .已知直线Ay=2x+b被抛物线C：y2=2px（p0）截得的弦长为5,直线/经过C的焦点，M为C上的一个动点，设点N的坐标为（3,0）,则MN的最小值为.27 .如图，抛物线V=4x的一条弦AB经过焦点F,取线段。8的中点Q,延长。A至点C,使IoA1=HCI，过点C。作），轴的垂线，垂足分别为点EG,则IEG1的最小值为.28

9、 .已知抛物线y2=4x,过焦点厂的直线与抛物线交于A,B两点，过A,B分别作X轴，y轴垂线，垂足分别为C,D,则IAC1+|8。|的最小值为.29 .已知抛物线Cy=8t3o）的焦点/与双曲线言一5=耳心。）的焦点重合，过点F的直线与抛物线C交于A,B两点，则HF1+28F1的最小值为（）A.3+42B.6+42C.7D.1030 .已知尸为抛物线CV=版的焦点，过尸作两条互相垂直的直线小田直线介与C交于A,B两点,直线/2与。交于E两点,则H8+DE的最小值为.31 .如图，已知抛物线G的顶点在坐标原点，焦点在X轴上，且过点（2,4）,圆C2：x2+y2-4x+3=0,过圆心。2的直线I与抛物线和圆。2分别交于点P,Q和M，N,贝IJIPM+4QM的最小值为（）A.23B.42C.12D.5232.抛物线y2=8的焦点为F,设A,8是抛物线上的两个动点，IAF1+8FI=乎6,则NAFB的最大值为（）C3_5八2A.rB.-7-C.7D.Z-340333.已知抛物线C：）=加的焦点坐标为（0,1）,点P（0,3）,过点P作直线/交抛物线C于A,8两点，过点A,8分别作抛物线C的切线，两切线交于点。，则AQAB面积的最小值为（）A.62B.63C.123D.122