专题19 距离型定值型问题(原卷版).docx

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1、专题19距离型定值型问题【例题选讲】例1已知椭圆C+%=1(bO)过点(0,1),且离心率为坐.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线/：y=5+m与椭圆E交于4,C两点，以4C为对角线作正方形A8C。，记直线/与X轴的交点为M求证：IBN为定值.I规范解答1(1)由题意知，桶圆E的焦点在X轴且b=1,5=乎，因为2=/+，解得a2=4.故椭圆E的标准方程为+V=1(2)设A(M,Ca2,),线段AC的中点为M,消去y,得/+2旭+2帆22=0,由/=(2n2)2-4(2)层-2)0.解得一,nQ0)在右、上顶点分别为A、B,尸是椭圆C的左焦点，P岑，俊)是椭圆。上的点，且O8=QF1(。是坐

2、标原点).(1)求椭圆C的方程；(2)设直线/与椭圆C相切于点M(M在第二象限)，过O作直线I的平行线与直线MF相交于点M问：线段MN的长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.rb=c13方+正=1解得1rt2=2C24=2,jc2规范解答I(D由题可知U1,所以椭圆C的方程为尹士1.2(2)由题户(-1,0),设切点M(X,o)则号+)/=1,切线/：rV,oy=I,而ON/,且ON过原点，所以OM半+yoy=O,而直线MF:(o+1)y=yoa+1),联立ON与M户的方程可解得M三醇，翟),2十XoZ-I-Xo则由所=U。+篇)2+0。一器)=2+(2=2,所以IMM=啦，为定值

3、.72例3已知椭圆C5+g=13b0)的左、右顶点分别为A,B,左焦点为R。为原点，点P为椭圆C上不同于4、B的任一点,若直线出与P8的斜率之积为一本且椭圆3C经过点(1,2)-(1)求椭圆C的方程；(2)若P点不在坐标轴上，直线布，PB交)，轴于M,N两点，若直线OT与过点M,N的圆G相切.切点为T,问切线长O7是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.规范解答I(1)设尸,y),由题意得A(-m0),B(a,0),如MBP=3-4所以椭圆C的方程为9+9=1；(2)由(1)得：A(2,0),3(2,0),设P(m,n)f-+y=1,则直线的方程附：)=/为伏+2)，令K=0,则y=V

4、,所以M(o,3直线PB的方程：y=x-2)f令X=0,则了=二5，所以MO,蔡三，,077VSaomt,.彩=翳(圆的切割线定理)，再联立与+5=1,o尸=Icw1IOM=后/3.例4(2023新高考I)已知椭圆C:+=133)的离心率为室且过点A(2,1).(1)求C的方程；(2)点M,N在C上，且AMJ_AN,AD1MN,。为垂足.证明：存在定点Q,使得|。|为定值.A=察规范解答(1)由题意可得J&+=,解得/=6,吩=d=3,故椭圆C的方U2=Z2+c2,程为/+A=1，O3(2)设点May),MX2,).因为AMJ_AN,所以嬴九加=0,P(x-2)(x2-2)+(y-1)(2-1

5、)=0.当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=h+7,如图I.代入椭圆方程消去y并整理，得（1+2R*+4%x+2-6=0,4km2/26总+必=一+2g=+2/根据y=Axi+?,y2=Ax2+m,代入整理，可得(3+1房及+伏7-2)(xi+x2)+(，1)24=0,将代入上式，得(正+1弟J+(h-A-2)(川-iy+4=0,整理化简得(2Z+3m+1)(2it+/n-1)=0,因为A(2,1)不在直线MN上，所以2R+m-10,所以2%+3w+1=0,QH,于是直线MN的方程为产伞一期一；，所以直线MN过定点0,一；).当直线MN的斜率不存在时，可得Mr，-y),如图2.图2代入(第一

6、2)(X22)+(y1)(y2-1)=0,得(x2产+1-M=0，结合尹女=1,解得XI=2(舍去)或XI=|,此时直线MN过点4,j.因为IA为定值，且AADE为直角三角形，AE为斜边，所以AE的中点。满足Iz)Q1为定值(AE长度的一半B-J2-)2+)2=%.由于4(2,1),0,一,故由中点坐标公式可得魂，故存在点。住，使得IDQ为定值.例5(2016北京)已知椭圆C，+摄=1(。0)的离心率为坐，A(af0),B(0,b),0(0,0),ZkOAB的面积为1(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆。上一点，直线以与y轴交于点M,直线PB与X轴交于点N.求证:IAN6M为定值.(=也b-

7、2，规范解答1(1)由题意得_119,兆)，则焉+4)3=4.当内)时，直线雨的方程为y=常万。-2).令X=0,得加=一?勺，从而8M=I1-.”d=直线PB的方程为y=01+1.令Jy=O,得XN=一,从而IAM=|2-却=2+?1*oyoI?0I所以AN1BM=2+尚*+4)国+4利用-4xo-8卯+4XQyO-Xo-2yo+24r()-4xo-8和+8_Xoyo-Xo-2yo+2-4*当Xo=O时，yo=-hIBM1=2,IAN1=2,所以NHBM=4.综上，IAN18M1为定值.例6己知椭圆CY+=1.(1)直线/过点。(1,1)与椭圆。交于P,Q两点，若电=殖，求直线的方程；(2)

8、在圆0：f+y2=2上取一点M,过点M作圆O的切线P与椭圆C交于A,B两点,求IMAHMB1的值.I规范解答I设尸3,j),Q(X2.”)，,用=双，(1-x,I-V)=(X21,J2-1)，1-X=X2-I即I,解得X1+X2=2,J1J2=2.I1-y=32-1VP,Q两点在椭圆C上，年+=1,耳4如.Zg(-2)(X1+x2),0,-y2)(y+j2),.,yi-j21两式相减，得7+=0,则=-7,63XX223-2十I-Z故直线/的方程为y-1=-g(-1),即y=(2)当切线/2斜率不存在时，不妨设/的方程为x=E,由椭圆C的方程可知，A(2,2),(2,-2),则S=(5,2),

9、O=(2t-2),况=0,gpOAOB.当切线/斜率存在时，可设/的方程为y=h+小，AS,力)，B(M%),即=2(K+1)联立和椭圆的方程，得(2二+1)/+4历丘+2加26=0,则4=(4/成)24(2d+1)(2-6)0,4km2h2-6TK+M=-R2户U=+2Q,OA=(X3,”),OB=(X4,).,.OA=3,V4+y3y4=3X4(x3W)(tow)=(+1)3X4wA(X3X4)W2,o,2m2-61.4km,(21)(2m26)4m22+m2(2k11)=(F+网-T)+nr=0,QAJ_O8.3w26Ar63(2二+2)6F6=1+2F=1+2A2综上所述，圆。上任意一

10、点M处的切线交椭圆C于点A,B,都有。4_1OB.在RsoAB中，由AOAM与A8OW相似，得|肪明时用=|。河|2=2,例7如图，已知椭圆C+=1,点8是其下顶点，过点8的直线交椭圆C于另一点A(A点在X轴下方)，且线段AB的中点E在直线y=x上.(1)求直线48的方程；若点P为椭圆C上异于A、B的动点，且直线AP,BP分别交直线y=x于点M、M证明：IoM0N1为定值.I规范解答设点E(m,m),由8(0,一2)得4(2m,2n+2).3-2代入椭圆方程得智+=1,即号+(加+1)2=,解得所以4一3,-1),故直线AB的方程为x+3y+6=0.(2)设P(X0,把)，则招+予=1,即V)

11、2=4-g-设M(X可，加)，由A,P,M三点共线，即，.APAMt：.3)(yw+1)=(jo+1)(xm+3),又点M在直线上，解得M点的横坐标“悬设NaN,抄)，由&P1N三点共线，即屏荫，双期+2)=。0+2M点N在直线尸X上，解得N点的横坐标V卷.I-Xo.,-2p1,vv,-,o+2,-y0-212X()26XQyo2X()26XOyoi加一3XOyo,=2(f2_4曰，.端=2寸7=6.Xo_Zvoyo-3-x010I例8如图，已知MX，加)是椭圆C*+=1上的任一点，从原点O向圆M：(x一沏产+。，-M2=2作两条切线，分别交椭圆于点P,Q-(1)若直线OP,。的斜率存在，并记

12、为玄，&2,求证：2次2为定值；(2)试问O砰+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，规范解答I(1)证明：因为直线OP：y=hr,OQ：y=bc与圆M相切，所以呼化简得：(焉一2)后一2MyMI+)32=0,同理：(高一2)后一2xo)M2+y32=0,所以人心是关于女的方程(君一22-2XayOhbm-2=0的两个不相等的实数根，所以,)1一2krk2xi-2-1I272I12人41因为点(xo,yo)在椭圆。上，所以片+?=1，即M=3一爹诏，所以M&2=薪-2=-/为定值.(2)OP2+qq2是定值，定值为以理由如下：当M点坐标为(6，分时，直线OP,OQ落在坐标轴上，显然有QP1

13、2+q02=9.当直线OP,。不落在坐标轴上时，设P(XI,y),Q(X2,竺)，因为跖依=一/所以因为尸(x,y),(x21只)在椭圆C上，所以“3Gi不+”，加f)彳=3一封,卢3-乩所以(3&?)(3昙)=%彳.，整理得不+后=6,所以M+京=(3；6)+(3昙)=3,所以OPp+OQ2=9.例9已知椭圆C+营=1(曲0)经过(1,1)与售，坐)两点.(1)求椭圆C的方程；(2)过原点的直线/与椭圆C交于4,3两点,椭圆C上一点M满足IMAI=IM稣求证加12,卜IOBF+qm2为定值,I规范解答I(1)将(1,1)与(乎，坐)两点代入桶圆。的方程，得h3解2?+4=1a2=3t椭圆。的方程为9+浮=1.(2)证明：由IMA1=IM用，知M在线段A8的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A,B关于原点对称.若点A,8是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，