专题2.7 直线与圆的位置关系【九大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

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1、专题2.7直线与圆的位置关系【九大题型】【人教A版(2019)【题型1直线与圆的位置关系的判定】2【题型2根据直线与圆的位置关系求参数】3【题型3圆的切线长及切线方程的求解】5【题型4已知切线求参数】7【题型5求圆的弦长与中点弦】9【题型6已知圆的弦长求方程或参数111【题型7直线与部分圆的相交问题】12【题型8直线与圆有关的最值问题】15【题型9直线与圆的方程的应用】18【知识点1直线与圆的位置关系及判定】1.直线与圆的位置关系及判定方法(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下:位置相交相切相离交点个数两个一个零个图形d与的关系dr方程组解的情况有两组不同的解仅有一组解无解(2)直线与圆的

2、位置关系的判定方法代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即ao,则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=o,则直线与圆相切；若无实数解，即o,则直线与圆相离.几何法：由圆心到直线的距离d与半径，的大小来判断，当火，时，直线与圆相交；当足厂时，直线与圆相切；当冷r时，直线与圆相离.【题型1直线与圆的位置关系的判定】【例1】（2023全国高三专题练习）直线1x+my+1-m=0与圆C:（%-I）2+（y-2）2=9的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定【解题思路】判断出直线的定点坐标，然后判断定点与圆的位置关系，进而可得直线与

3、圆的位置关系.（解答过程已知直线，:xmy+1-n=0过定点将点（一1,1）代入圆的方程可得（一1一I）2+（1-2）29,可知点（一1,D在圆内，所以直线上无+my+1-m=0与圆。:（-I）2+（y-2）2=9相交.故选：A.【变式1-1（2023秋高二课时练习）M（XoJo）为圆炉+V=1内异于圆心的一点,则直线XOX+y0y=1与该圆的位置关系为（）A.相切B.相交C.相离D.相切或相交【解题思路】由题意可得诏+M1,结合圆心到直线&x+%y=1的距离判断与半径的大小关系，即得答案.【解答过程】由题意知MaOjo）为圆/+y2=1内异于圆心的一点,则诏+指1=r,故直线XOX+yy=1

4、与该圆的位置关系为相离,故选：C.【变式12】（2023春山东滨州高一校考阶段练习）OO的半径为7cm,圆心。到直线/的距离为8cm,则直线1与。O的位置关系是（）A.相交B.相离C.相切D.以上均不对【解题思路】根据圆与直线的位置关系即可得答案.【解答过程】OO的半径为r=7cm,圆心。到直线/的距离为d=8cm,贝如Vd,所以直线I与O。的位置关系是相离.故选：B.【变式1-3（2023全国模拟预测）已知曲线C:/+y2_6y+5=0,直线1aX+y+Q-2=0,则直线!与曲线C的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.无法确定【解题思路】将圆的一般方程化为标准方程得/+3-3)2=4,

5、再求出直线I所过定点，判断定点与圆的位置关系即可.【解答过程】x2+y2-6y+5=。即/+(y-3/=4,故曲线C表示以点C(0,3)为圆心，2为半径的圆.因为直线2的方程可化为(1)+y-2=0,所以直线，恒过点力(-1,2).因为C1=12+I2=22,故点4在圆C的内部，所以直线2与圆C相交，故选：C.【题型2根据直线与圆的位置关系求参数】【例2】(2023全国高三专题练习)设平面直线y=%+b与圆/+V=相交，贝帕的取值范围为()A.(-,)B.(-1,1)C.(-22)D.(-3,3)【解题思路】利用圆心到直线I的距离小于半径列不等式，从而求得b的取值范围.【解答过程】易知圆/+y

6、2=1的圆心为(O0),半径为,直线1%-y+b=0,因为直线y=X+8与圆/+y2=1相交，所以用黑=号VI,解得一0且圆心坐标为(1,0),半径为直线X-y+1=0与圆/+y2-2x1-=0相切，则圆心到直线距离等于半径，即：d=/1；黑2=塞=疝解得2故选：A.【变式2-2(2023广东茂名统考二模)已知直线上丫=依与圆。:。一2)2+。-1)2=1,贝卜0vk是“直线与圆C相交”的()A.充分不必要条件B,必要不充分条件D.既不充分也不必要条件C.充要条件【解题思路】先利用直线，与圆C相交可得到Okv?然后利用充分条件、必要条件的定义即可求解【解答过程】由圆C:Q2y+(y-1)2=1

7、可得圆心(2,1),半径为1,所以直线I与圆C相交=圆心(2,1)到直线kx-y=O的距离d=1,解得Ok所以0k0).上,点A(0,2),若IP川的最小值为1,则过点A且与圆。相切的直线方程为()A.%=0或7x+24y-48=0B.%=0或7%24y-48=0C.%=1或24%-7y-48=0D.X=I,或24x+7y-48=0【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，根据IP川的最小值为1,得到方程求出Q的值，即可求出圆的方程,再分斜率存在与不存在两种情况，分别求出切线方程，即可得解.【解答过程】由圆C方程可得圆心为C(,O),半径r=,因为IP川的最小值为1,所以VS5IN-q=1,解得Q=

8、会故圆c：(X-I)+y2=g.若过点A(0,2)的切线斜率存在，设切线方程为y=H+2,则号备I=方解得八一金所以切线方程为y=-(+2,UP7x+24y48=0；若过点A(0,2)的切线斜率不存在，由圆C方程可得，圆C过坐标原点(0,0),所以切线方程为X=0.综上，过点A且与圆C相切的直线方程为X=0或7%+24y-48=0.故选：A.【题型4已知切线求参数】【例4】（2023春广东江门高二统考期末）若直线-y+3=O与圆/+V-2x+2-Q=O相切，则=（）A.9B.8C.7D.6【解题思路】求出圆的圆心和半径，再利用圆的切线性质求解作答.【解答过程】圆（x-1）2+y2=-i（1）的

9、圆心（1,0）,半径依题意，湍条=ki,解得=9,所以Q=9.故选：A.【变式4-1（2023全国高三对口高考）“=”是“直线y=%+b与圆/+y2=相切，的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径得到方程，解出b值，再根据充分不必要条件的判定即可得到答案.【解答过程】若直线y=X+b与圆2+y2=1相切，则圆心（0,0）到直线y+b=0的距离d等于半径r,即詈=1b=2,故前者能推出后者，后者无法推出前者，故“b=”是“直线y=X+b与圆/+V=1相切”的充分不必要条件.故选：A.【变式4-2（2023秋四川雅安高二统考期末）过点P（2,1）的直线/与坐标轴的正半轴交于A,8两点，当三角形OAB的面积最小时直线/与圆（+1）2+（丫一）2=5相切，则实数机的值为（）A.7或4B.1或6C.0或5D.2或7【解题思路】结合基本不等式求得当直线，的斜率攵=-决寸，三角形。48面积最小.结合直线与圆相切，利用点到直线的距离公式求得m的值.【解答过程】因为过点