专题20 面积型定值型问题(解析版).docx

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1、专题20面积型定值型问题题型一三角形面积问题【例题选讲】X2y21例1已知椭圆CU+%=1SAO)的离心率为亍以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线-y+6=0相切.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线/：y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点，且koAkon=5.求证：2AOB的面积为定值.(c_a2规范解答I(1)由题意得,0-0+6,/=4,从=3,桶圆的方程为b-2434/21*J2消去y化简得(3+4s)/+85。+46212=O,汨+及=一击而，xxz=3-4,由J0,得242-w230,yj2=(vw)(2+。=X1X2+A7n(x1+12)+)=#,4+km(2)m2=

2、3tw2-123+4二k().vk()R啮3-4,2i22a3-43-4,.3tn*12134/犷123+4好=不3+43氏2-42=3MN=yT-H?x-X2=y1+2*(x1+x2)2-4xX2=1+Ar,Ir-SkmVAm2-12413+4F24(1+2)3+4v又由点O到直线y=kx-m的距离d=i+P,所以S1MON=IHBw=5=2-，品塔恭=d+=#为定值.例2已知椭圆C：+%=1(Gb0)的离心率为坐，。是坐标原点，点4,8分别为椭圆C的左右顶点，AB=42.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若P是椭圆C上异于A,8的一点，直线/交椭圆C于M,N两点，AP/OM,BPHON,则A

3、OMN的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由.规范解答(1)由2=45,e=苧，解得=25,c=2,b2=a2-c2=4f则椭圆的方程为与+；=1;(2)由题意可得4-26，O),B(22t0),设Pa,和)，可得12+亨=1,即刈2+2)/Vo则kp-kpV2*y312=(H1w)(te)=k1XX2k(X+也)+，,.,y2,42n21n2(1+22)1_、1C由垢WhW=MH=K+斤二两一=一E，可得=2+4Q,由弦长公式可得，IMN=bPi一及|=12(iX2)2-4xiX2=iF)2-4(+S)=64i2-8n2+32=S点(0,0)到直线/的距离为d=7昌彳=y2井三

4、),yk+1-1+Ar所以SAaMV=耳IMNI=25,综上可知，(?MN的面积为定值2隹7y例3如图，丹、尸2为椭圆c：5+1=1(b0)的左、右焦点，。、E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为零SAOEf2=I一坐.若M(X0,泗)在椭圆C上，则点MT)称为点M的一个“好点”.直线/与椭圆交于A、B两点，A、8两点的“好点”分别为P、Q已知以PQ为直径的圆经过坐标原点.(1)求椭圆的标准方程；(2)AAOB的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由.图1C主a=2规范解答(D由题可知1U1亚,解得/=4,=,2(-c)=1-2o,IAB1=MnPMM1=二而一.1,S=1

5、.综上，的面积为定值1.例4己知椭圆。：，+忘=1(0)的焦距为2,四个顶点构成的四边形面积为2媳.求椭圆C的标准方程;。为坐标原点，林=血+豕/,若(2)斜率存在的直线/与椭圆C相交于M、N两点,点P在椭圆上，请判断AOMN的面积是否为定值.解析(1)由题可得2c=2,c=1,22a2b=2y2t又02=c2+解得力=1,=2.故椭圆方程为5+)2=1”)，P(X0,加)，(2)设直线/方程是y=履+m,设Mg,y),Ng,y=xm,联立、得(1+2F)X2+45a+2m22=0,/9=1，-2(/21)8(2tn+1)0.xxz=-2A，X=+2标,IMM=-Px1X2=W+/7(X1+刈

6、)24=-1+2822又Y苏=成+加，所以，Xo=X1+x2，一4km2n_I？(？二声14-9p)1)0=y+j2,1十2七I2把点P坐标代入椭圆方程可得(1_：；)2+2(1:2)=2,整理可得4n2=22+1,又由点O到直线y=kx+m的距离d=AoMN的面积vIIwW1X1frrnY8(21+】一加2)加2(4w2-w2)6SAoM1习MMd-J1+仆1+21=4M=y所以，AOMN的面枳为定值坐.【例5已知椭圆C：+方=1(0)的离心率为挛过点P(1,坐).(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，M、N为椭圆C上异于A、8的两点,满足4M8N,求证：A

7、OMN面积为定值.2j-yAx2y2所以SWm=IIOMd=回写1速=%以4k14/28炉4月+44+1-4F+1ZF+7=1(C=.a2规范解答(1)由已知条件可得1！-1.,解得/=4,y=1,故椭圆C的标后十至一12准方程为Y+y2=1.(2)设MaI,y),MX2,”)，由题意直线AM、BN的斜率存在，设直线AM的方程为产总+2)，设直线BN的方程为尸+1,由(1)椭圆C：+j2=1，2RIr22A.k联立得(4+1*+16A2x+16K-4=0,解得为=47+.即Mnq7，而Tjr)，Q1O/,1442联立，得(4A2+1)x2+8H=0,所以，X2=一族TFp即M4,+742P,易

8、知0M=W+yJ,直线。仞的方程为y-Iy=O,点N到直线OM的距离为故。肪V面积为定值I.例6如图，点尸是抛物线八f=20(pO)的焦点，点A是抛物线上的定点，且介=(2,0),点8,C是抛物线上的动点，直线A8,AC的斜率分别为七，k2.(1)求抛物线T的方程；(2)若心一心=2,点0是抛物线在点8,。处切线的交点，记ABCD的面积为S,证明S为定值.I规范解答I设A(M*)，由题知尸(0,乡，所以孙=(一孙-y0)=(2,0),Xo=-2,所以,p,代入x2=2PyS0),得4=得=2,W=2所以抛物线的方程是=4y.(2)过。作y轴的平行线交BC于点E,并设8(即，小，CgJ),由知4

9、-2,1),WT-44X2Xi所以女2卜=一二一一7而=，又代一h=2,所以X2X1=8.人2J4II4-X2XD2,=詈因直线BC的方程为y一号=咛%即)，将功代入得w=zX,所以S=Df(x2Xi)=2(,e-,Vo)(x2Xi8A|(2-Xi)=32.【对点训练】1.已知椭圆+*=1(。60)的四个顶点围成的菱形的面积为4小,椭圆的一个焦点为(1,0).(1)求椭圆的方程；若M,N为椭圆上的两个动点，直线0M,ON的斜率分别为M，&2,当攵伏2=一(时，M0N的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.1 .解析（1）由椭圆5+*=1的四个顶点围成的菱形的面积为45,椭

10、圆的一个焦点为1,0）,可得2b=45，c=1,即。力=2小，a2-b2=i,解得t?=4,2=3,故椭圆的方程为，+=1.（2）设Ma1,y）,MX2,力），当直线MN的斜率存在时，设方程为y=b+叽（y=kx-my2,消y可得，（4d+3）f+8加x+4m2-12=0.4+T=1则=64Bn24(4F+3)(4m212)=48(4Km23)0,即m20,代入SAMoN=笠器b)的离心率为手，直线xy+小=O与椭圆。有且只有一个公共点.(1)求椭圆。的标准方程(2)设点A(10),B(3,0),尸为椭圆C上一点，且直线以，PB的斜率乘积为一丞点M,N是椭圆C上不同于A,8的两点，且满足APOM,BP/ON,求证：ROMN的面积为定值.2 .解析(I)：直线-y+5=0与椭圆有且只有一个公共点,，直线xy+#=0与椭圆C：，齐=1相切，Xy5=0由/十，,得(b2+2)F+22+52-a2=o,J=0,即/+62=5,又；e=坐，；.a=小,从=2,椭圆。的方程为