专题3.6 抛物线的标准方程和性质【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

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1、专题3.6抛物线的标准方程和性质【八大题型】【人教A版(2019)【题型1动点的轨迹问题】2【题型2利用抛物线的定义解题】3【题型3抛物线的焦点坐标及准线方程】5【题型4求抛物线的标准方程】6【题型5根据抛物线的方程求参数】8【题型6抛物线的对称性的应用】11【题型7与抛物线有关的最值问题】13【题型8与抛物线有关的实际应用问题】16【知识点1抛物线的标准方程】1 .抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点尸和一条定直线/(/不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点尸叫作抛物线的焦点，直线/叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点MaJ)是抛物线上任意一点，点M到直线/的距离为a则抛物线

2、就是点的集合p=mmq=Q.2 .抛物线的标准方程抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：图形标准方程焦点坐标准线方程4产2px(p0)F便。)X_Ex2y2=-2px(p0)f(4)=2x2=2pyp0)FM)Py=-2x2=-2py(p0)。，吗)y=PJ2【题型1动点的轨迹问题】例1(2023春陕西安康高二校联考期末)动点P(%,y)到点F(3,0)的距离比它到直线+2=0的距离大1,则动点P的轨迹是().A.椭圆B.双曲线C.双曲线的一支D.抛物线【解题思路】根据抛物线的定义即可判断.【解答过程】解：Y动点到点(3,0)的距离比它到直线=-2的距离大1,动点到点(3,0)的距离

3、等于它到直线=-3的距离，由抛物线的定义知：该动点的轨迹是以点(3,0)为焦点，以直线为=-3为准线的抛物线.故选：D.【变式1-1(2023春广东韶关高二校考阶段练习)动点May)满足方程5J(%-+(y-2尸=3x+4y+12,则点M的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解题思路】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案.【解答过程】由5(x-1)2+(y-2)2=3x+4y+12|得Ja-+(y_2=也苦!三1,等式左边表示点3y)和点(1,2)的距离，等式的右边表示点(x,y)到直线3%+4y12=0的距离，整个等式表示的意义是点3y)到点(1,2)的距离和到直线3%+

4、4y+12=0的距离相等，且点(1,2)不在直线3x+4y+12=0,所以其轨迹为抛物线.故选：D.【变式1-2(2023全国高二专题练习)在平面直角坐标系Xoy中，动点Pay)到直线X=I的距离比它到定点(一2,0)的距离小1,则P的轨迹方程为()B.y2=4xA.y2=2xC.y2=-4xD.y2=-Bx【解题思路】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.【解答过程】由题意知动点P(x,y)到直线=2的距离与定点(-2,0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(-2,0)为焦点，=2为准线的抛物线，所以口=4,轨迹方程为丫2=一8%，故选：D.【变式1-3(202

5、3全国高三专题练习)已知动圆M与直线产2相切，且与定圆C：x2+(y+3)2=1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.X2=-12yB.X2=12yC.y2=12xD.y2=-12%【解题思路】根据动圆M与直线)=2相切，且与定圆C：/+(y+3)2=1外切，可得动点M到C(O,3)的距离与到直线产3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程.【解答过程】设动圆圆心为M(x,y),半径为八由题意可得“到C(0,3)的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(O,-3)为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，所以(=3,2p=12,其方程为=-1

6、2y.,故选：A.【题型2利用抛物线的定义解题】【例2】(2023春四川资阳高二统考期末)抛物线C：y=/过点(1,2),则C的焦点到准线的距离为()AMBMC.1D.1【解题思路】根据条件求出Q的值，从而得出抛物线的方程，进而可求出结果.【解答过程】因为抛物线C：y=q过点(1,2),所以0=2,故抛物线C：x2=y,所以C的焦点到准线的距离为;.4故选：B.【变式2-1(2023春江苏盐城高二统考期末)若抛物线必=4%上的一点M到坐标原点。的距离为遥，则点M到该抛物线焦点的距离为()B. 1C. 2D. 3【解题思路】求得点M的坐标，将点M到该抛物线焦点的距离转化为点M到抛物线必=4x的准

7、线的距离即可.【解答过程】设点M0=5,.(_0)2+(y-0)2=5,.y2=4或y?=-20(舍去)，V2X=1,4M到抛物线y?=4%的准线X=-1的距离d=1-(-1)=2,点M到该抛物线焦点的距离等于点M到抛物线y?=轨的准线的距离，点M到该抛物线焦点的距离为2.故选：C.【变式2-2(2023春陕西榆林高二统考期末)已知抛物线Cy2=4的焦点为F,点M在抛物线C上，若M到直线=3的距离为7,则IMF1=()A.4B.5C.6D.7【解题思路】根据题意转化为点M到准线=-1的距离为5,结合抛物线的定义，即可求解.【解答过程】由抛物线C:y2=4勺焦点为尸(1,0),准线方程为X=-1

8、,如图，因为点M在C上，且M到直线%=-3的距离为7,可得M到直线%=-1的距离为7-2=5,即点M到准线的距离为5,根据抛物线的定义，可得点M到焦点的距离等于点M到准线的距离,所以IMF1=5.故选：B.【变式2-3（2023春河南信阳高二统考期末）已知抛物线C:/=8y的焦点为凡。的准线与对称轴交于D,过。的直线/与C交于A,8两点，且屈=2瓦5,若尸8为NDFA的平分线，则IAF1+|8臼等于（）A.-B.8C.10D.-33【解题思路】由题意可得尸（0,2）,D（0,-2）,从而可求|。川=4.过A,8分别作准线的垂线，垂足分别为4,B1t则4BB.根据抛物线的定义，结合角平分线的性质

9、及相似三角形的性质即可求解.【解答过程】F（0,2）,0（0,2）,所以IDFI=4.过A,8分别作准线的垂线，垂足分别为B1,AA1BB1.因为FB为乙OE4的平分线.则黑=黑，又荏=2而，.44=4=2D=8,又簪=黑=；,d1）iUIAIUAI3|8F1=IBBII=汐A11wF+5F=8+|=.故选：D.【题型3抛物线的焦点坐标及准线方程】【例3】（2023春陕西西安高一校考期末）己知P（-1,2）为抛物线。？2=-22%30）上一点，则C的焦点坐标为（）.A.（一；，。）B.（一：，0）C.（一弓，。）D.（-1,0）【解题思路】将点P的坐标代入抛物线C的方程，求出P的值，可得出抛物

10、线C的方程，进而可求得抛物线C的焦点坐标.【解答过程】将点P的坐标代入抛物线C的方程可得22=2p,解得P=2,所以，抛物线C的方程为y2=-4%,其焦点坐标为（-1,0）.故选：D.【变式3-1（2023春江西南昌高二校联考阶段练习）抛物线*=的焦点到其准线的距离为（）【解题思路】根据抛物线的标准方程和几何性质，即可求解.【解答过程】由抛物线y2=；”,可得2p=；,所以p=3448所以抛物线的焦点坐标为尸（2,0）,准线方程为=-白1616所以该抛物线的焦点到其准线的距离为8故选：C.【变式3-2（2023北京西城统考二模）已知抛物线C与抛物线y2=4%关于y轴对称，则C的准线方程是A.

11、X=-2B. X=2C. X=-ID. x=1【解题思路】根据两个抛物线的对称性,即可求抛物线C的准线方程.【解答过程】抛物线必=轨的准线方程为X=-1,因为抛物线C与抛物线y2=4x关于y轴对称，所以两个抛物线的准线也关于y轴对称，所以C的准线方程是X=1.故选：D.【变式3-3（2023甘肃兰州统考模拟预测）已知点P在圆C:/一4x+y2=0,其横坐标为1,抛物线/-20、30）经过点，则抛物线的准线方程是（）ay=B. X=12C. %=6【解题思路】结合圆的方程可求得P点坐标，代入抛物线方程可确定P的值，进而确定准线方程.【解答过程】将=1代入圆C方程得：y2=3,解得：y=H,P（1

12、,5）或P（1,-5）,VP在抛物线/=-2py(p0)上，二1=-23pJc1=23p,解得：p=-哼（舍）或P=.抛物线方程为/=一枭,Oo3抛物线的准线方程为：y=奈故选：D.【题型4求抛物线的标准方程】【例4】（2023全国高二专题练习）以工轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（）A. y2=8xB. y2=-BxC. y2=8%或y2=-8xD.x2=8y或/=-Sy【解题思路】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程.【解答过程】依题意设抛物线方程为y2=2px（p0）.因为焦点到准线的距离为4,所以p=4,所以2p=8,所以抛物线方程为y2=8

13、x或y2=-8x.故选：C.【变式4-1（2023春四川眉山高二校考开学考试）已知抛物线y2=2px上的点M（2,y0）到该抛物线焦点的距离为3,则抛物线的方程是（）A.y2=2xB.y2=4xC.y2=-2xD.y2=-4x【解题思路】由抛物线知识得出准线方程，再由点M（2,%）到焦点的距离等于其到准线的距离求出p,从而得出方程.【解答过程】由题意知p0,则准线为=-点M（2,y0）到焦点的距离等于其到准线的距离，p2|=3,Ap=2,则y?=4、故选：B.【变式4-2（2023北京北京四中校考模拟预测）已知抛物线。可2=2口30）的焦点为产，准线为，点A是抛物线C上一点，AD11于。.若A

14、F=2,4DA尸=60。，则抛物线C的方程为（）A.y2=8xB.y2=4xC.y2=2xD.y2=X【解题思路】根据抛物线的定义求得IDF1=2,然后在直角三角形中利用乙DA=60。可求得P=2,从而可得答案.【解答过程】如图，连接DF,设准线与X轴交点为M抛物线Cy2=2px（p0）的焦点为尸,0）,准线I：x=又抛物线的定义可得IAF1=AD,又WAF=60。，所以04F为等边三角形，所以IDF1=AF=2,乙DFM=60所以在Rt。/M中，IDF1=2MF1=2p=2,则P=1,所以抛物线C的方程为必=2乂故选：C.【变式4-3（2023全国高三专题练习）设抛物线C:y2=2p%Q0）的焦点为凡准线为1,力为C上一点，以尸为圆心，IF川为半径的圆交工于B,D两点.若乙48。=90。，且AABF的面积为4旧，则抛物线C的方程为（）A.y2=2xB.y2=4xC.y2=8xD.y2=16【解题思路】利用圆和抛物线的定义得到力8是等边三角形，再AABF面积得到I